Encontrar el escalar adecuado para el cambio de estabilidad

Question

Me han dado la siguiente ecuación: $$\tau\frac{dx}{dt}=-x+\frac{e^{\beta(x-\frac{1}{2})}}{1+e^{\beta(x-\frac{1}{2})}}$$ Para algún valor $\tau$ .

He tratado de encontrar sus puntos fijos. Lo he analizado gráficamente variando el valor de $\beta$ en MatLab y en los gráficos. He descubierto que para $4<\beta\leq5$ Obtengo 2 puntos fijos adicionales.

Mi pregunta es, ¿cómo puedo calcular qué valor de $\beta$ que se produce este punto fijo?

Answer 1

Supongamos que $\beta>0$ . La ecuación de equilibrio $dx/dt = 0$ reescribe como $f(x) = 0$ , donde $$ f(x) = x e^{-\beta/2} + \left(x-1\right) e^{\beta (x-1)} \, . $$ Tenga en cuenta que $f$ es positivo al menos sobre $[1, +\infty[$ y negativo al menos sobre $]-\infty , 0]$ . Por lo tanto, los puntos de equilibrio están necesariamente entre $0$ y $1$ . En particular, $f(1/2) = 0$ es decir $x=1/2$ es un punto de equilibrio. Ahora, examinemos las variaciones de $f$ , cuya derivada es $$ f'(x) = e^{-\beta/2} + \left( 1 + \beta (x-1) \right) e^{\beta (x-1)} \, . $$ Tenga en cuenta que $f'$ es positivo al menos sobre $[1-1/\beta, +\infty[$ y que $f'(1/2) = (2-\beta/2)e^{-\beta/2}$ . La derivada $f'$ se desvanece en las abscisas $x$ tal que $$ \left( 1 + \beta (x-1) \right) e^{1 + \beta (x-1)} = -e^{1-\beta/2} \, , $$ a saber $1 + \beta (x-1) = W(-e^{1-\beta/2})$ , donde $W$ denota el Función W de Lambert . Esta función especial no está definida sobre $]-\infty ,-1/e[$ y negativo de doble valor sobre $]-1/e,0[$ . Por lo tanto, si $\beta\leq 4$ entonces $f$ es monótonamente creciente y $x=1/2$ es el único punto de equilibrio. Por lo demás, $\beta > 4$ y $f$ no es monótona. Más concretamente, $f'$ cambia de signo dos veces: una en la abscisa $$ x_{0} = 1 + \frac{W_0(-e^{1-\beta/2}) - 1}{\beta} $$ en $]1-2/\beta , 1-1/\beta [$ y una vez en la abscisa $$ x_{-1} = 1 + \frac{W_{-1}(-e^{1-\beta/2}) - 1}{\beta} $$ en $] 1/2-\sqrt{\beta-4}/\beta , 1-2/\beta [$ . Hay dos puntos de equilibrio adicionales: uno está en $]0, x_{-1}[$ y uno está en $]x_0, 1[$ .