Función periódica diferenciable

Question

Si $f(x)$ es una función diferenciable en la recta real y periódica con periodo $T$ tiene al menos dos puntos estacionarios en $(0,T]$ ?

Answer 1

Sí. Si $f$ es constante, entonces cada punto es estacionario. En caso contrario, la imagen de $[0,T]$ es un intervalo cerrado (ya que $f$ es en particular continua), y por lo tanto $f$ tiene al menos un máximo global y un mínimo global. Sabemos que los máximos y los mínimos de una función diferenciable son puntos estacionarios. El máximo y el mínimo son puntos diferentes porque $f$ no es constante. Si uno de ellos es $0$ (y por tanto fuera de $(0,T]$ ), sólo hay que tener en cuenta $T$ en su lugar eso también será un extremo global porque $f$ es periódica.

Answer 2

Sí. Considere $g(x)=f(x)-f(x+T/2)$ . Desde $f$ es diferenciable, es continua, y por tanto $g$ es continua. Ahora $g(x+T/2)=f(x+T/2)-f(x+T)=f(x+T/2)-f(x)=-g(x)$ . Por lo tanto, hay al menos un cero de $g$ por el teorema del valor intermedio. Pero $g(x)=0$ implica $f(x)=f(x+T/2)=f(x+T)$ y entonces por el teorema del valor medio hay dos puntos $\xi_1,\xi_2$ con $x\lt\xi_1\lt x+T/2$ y $x+T/2\lt\xi_2\lt x+T$ con $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$ .