¿Serie convergente pero no absoluta? $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n^p \pi)}{n^p}$

Question

Para qué números reales $p>0$ hace la serie $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n^p \pi)}{n^p}$$ ¿converger?

Obviamente converge absolutamente para $p>1$ pero ¿qué pasa con $0<p<1$ ? Tengo la sensación de que algo cualitativo ocurre en $p=1/2$ .

Se necesita ayuda, gracias.

Answer 1

Limitamos nuestra atención al caso $0 < p < 1$ ya que la respuesta es conocida para $p \geq 1$ . Utilizando la integral de Riemann-Stieltjes, podemos reescribir la suma parcial como

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos (\pi k^{p})}{k^{p}} = \int_{1^{-}}^{n} \frac{\cos \pi x^{p}}{x^{p}} d [x] = \int_{1^{-}}^{n^{p}} \frac{\cos \pi x}{x} d [x^{1/p}]. \tag{1} $$

Utilizando el polinomios periódicos de Bernoulli $B_{m}(x)$ tenemos

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos (\pi k^{p})}{k^{p}} = - \int_{1^{-}}^{n^{p}} \frac{\cos \pi x}{x} d B_{1}(x^{1/p}) + \int_{1}^{n^{p}} \frac{\cos \pi x}{x} \, d(x^{1/p}) =: I_{n} + J_{n}. $$

Paso 1. Tenga en cuenta en primer lugar que

$$ J_{n} = \frac{1}{p} \int_{1}^{n^{p}} \frac{\cos \pi x}{x^{2-(1/p)}} \, dx. $$

Esto converge como $n \to \infty$ si y sólo si $2-(1/p) > 0$ , o de forma equivalente, $p > 1/2$ . De hecho,

• Para $1/2 < p < 1$ la convergencia se produce por el truco habitual de integración por partes.
• Para $0 < p \leq 1/2$ , dejemos que $$ a_{k} = \lceil (2\pi k - (\pi/4))^{1/p} \rceil \quad \text{and} \quad b_{k} = \lfloor (2\pi k + (\pi/4))^{1/p} \rfloor. $$ Entonces observamos que $a_{k}^{p} - (2\pi k - (\pi/4)) \to 0$ y $b_{k}^{p} - (2\pi k + (\pi/4)) \to 0$ . Así, para los grandes $k$ , $$ J_{b_{k}} - J_{a_{k}} = \frac{1}{p} \int_{a_{k}^{p}}^{b_{k}^{p}} \frac{\cos \pi x}{x^{2-(1/p)}} \, dx \gtrsim \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (x+2\pi k)^{(1/p)-2} \, dx \gtrsim 1,$$ lo que no puede ocurrir si $J_{n}$ converge. (Es decir, $J_{n}$ no es Cauchy y por tanto no es convergente).

Paso 2. A continuación, analizamos el término $I_{n}$ . La integración por partes muestra que

$$ I_{n} = - \left[ \frac{\cos \pi x}{x} B_{1}(x) \right]_{1^{-}}^{n^{p}} - \int_{1}^{n^{p}} \left( \frac{\pi \sin \pi x}{x} + \frac{\cos \pi x}{x^{2}} \right) B_{1}(x^{1/p}) \, dx. $$

Aquí, el único término cuya convergencia no está clara es

$$ \int_{1}^{n^{p}} \frac{\pi \sin \pi x}{x} B_{1}(x^{1/p}) \, dx = p \pi \int_{1}^{n} \frac{\sin (\pi x^{p})}{x} B_{1}(x) \, dx. $$

Introducción de la función

$$ C(x) = -\int_{x}^{\infty} \frac{B_{1}(t)}{t} \, dt = \mathcal{O}\left( \frac{1}{x} \right), $$

se deduce que

$$ p \pi \int_{1}^{n} \frac{\sin (\pi x^{p})}{x} B_{1}(x) \, dx = p \pi \left[ \sin (\pi x^{p}) C(x) \right]_{1}^{n} - p^{2}\pi^{2} \int_{1}^{n} x^{p-1} \cos(\pi x^{p}) C(x) \, dx, $$

que converge absolutamente como $n \to \infty$ . Juntando, $I_{n}$ converge para cualquier $0 < p < 1$ y por lo tanto la suma (1) converge si y sólo si $p > 1/2$ .

Observación. Tenemos la misma respuesta si se sustituye el coseno por el seno.

Preguntas pendientes.

1. Asíntota para la suma infinita como $p \downarrow 1/2$ .
2. La misma pregunta para la suma $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos (a k^{p})}{k^{q}}, $$ donde $p$ y $q$ ahora pueden tener valores diferentes.

Answer 2

I. La serie es absolutamente convergente si y sólo si $p>1$ . Esto es trivial para $p>1$ . Si $p\le1$ entonces la mitad de los términos que tenemos $|\cos(..)|\ge\frac1{\sqrt2}$ y $\sum\frac1{n^p}$ diverge.

II. Demostramos que la serie diverge para $0<p\le\frac12$ .

Estimar una suma parcial de términos consecutivos donde $\cos(n^p\pi)\ge\frac12$ . Tome un número entero grande $k$ y considerar esos índices $n$ que satisfagan $2k-\frac13\le n^p\le 2k+\frac13$ Así pues, dejemos que $$ S_k = \sum_{2k-\frac13\le n^p \le 2k+\frac13} \frac{\cos(n^p\pi)}{n^p}. $$ El número de términos en $S_k$ es aproximadamente $$ (2k+\frac13)^{1/p}-(2k-\frac13)^{1/p} \approx C_1\cdot k^{\frac1p-1} $$ con alguna constante positiva $C_1$ el orden de magnitud de los términos es $k^{-1}$ . Por lo tanto, $$ S_k > C_2 k^{\frac1p-2}. $$ El último exponente, $\frac1p-2$ no es negativo. Así que $S_k$ tiene un límite inferior positivo, por lo que $S_k\not\to0$ . Por lo tanto, la serie diverge.

III. Supongamos ahora $\frac12<p<1$ . Sustituir la serie por la integral impropia. Es fácil comprobar que $$ \left|\frac{\cos(n^p\pi)}{n^p} - \int_{n-\frac12}^{n+\frac12}\frac{\cos(x^p\pi)}{x^p}\,dx \right| \le C_3 \max_{n\le x\le n+1} \left|\bigg(\frac{\cos(x^p\pi)}{x^p}\bigg)''\right| < \frac{C_4}{n^{2-p}}. $$ Desde $\sum\limits\frac1{n^{2-p}}$ es convergente, podemos concluir que $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\cos(n^p\pi)}{n^p}$ es convergente si y sólo si $\int\limits_{1}^\infty\frac{\cos(x^p\pi)}{x^p}dx$ es convergente.

Integración por partes, $$ \int_1^\infty \frac{\cos(x^p\pi)}{x^p}dx = \frac1{p\pi}\int_1^\infty (\sin(x^p\pi))' \frac1{x^{2p-1}}dx = $$ $$ \frac1{p\pi}\left[\frac{\sin(x^p\pi)}{x^{2p-1}}\right]_1^\infty +\frac{2p-1}{p\pi} \int_1^\infty \frac{\sin(x^p\pi)}{x^{2p}} dx. $$ Debido a $2p>1$ la última integral es absolutamente convergente.