Sobre los primos y sus potencias en las bases $\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

Question

Para algunos primos $p=p_{10}$ , donde $p_{10}$ significa simplemente que ese primo está representado en base $10$ , si:

*) En al menos una base del conjunto $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ el número $p^2$ es primo (cuidado ahora, en este contexto esto significa que existe alguna base $b \in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ en el que el número $p^2$ se representa como $p^2=(a_1...a_{m_b(p^2)})_b$ pero, "cuando se ve en la base $10$ " con exactamente los mismos dígitos tenemos que es primo, es decir $\alpha(b,10,p^2)=(a_1...a_{m_b(p^2)})_{10}$ es primo), entonces se procede a $p^3$ y, si de nuevo alguna base $b$ del conjunto $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ existe tal que $\alpha(b,10,p^3)=(a_1...a_{m_b(p^3)})_{10}$ es primo, entonces proceda a $p^4$ y proceder en la medida de lo posible hasta que haya algún $k(p) \in \mathbb N$ tal que para cada base $b$ del conjunto $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ el número $\alpha(b,10,p^{k(p)})=(a_1...a_{m_b(p^{k(p)})})_{10}$ es compuesto.

Algún número primo $p$ para el que este procedimiento nunca termina podría llamarse principal maestro de las bases .

¿Tiene al menos una principal maestro de las bases ¿Existe?

Sinceramente, no estoy seguro de no estar preguntando algo trivial aquí. Porque, a cada paso sólo hay $8$ permitido la elección de bases, así que si tal primo existe, eso destrozaría y sacudiría algunas de mis creencias en la estructura del conjunto de los primos.

Aunque creo que el conjunto $A=\{\text{nos}(p):p \in \mathbb P\}$ donde $\text{nos}(p)$ denota el número máximo de pasos que puede realizar este procedimiento para algún primo $p$ no tiene límites, lo que no implica la existencia de al menos un principal maestro de las bases .

Esto es sólo una investigación recreativa amateur, así que, si esto es algo obvio y trivial, perdón.

Editar : La respuesta se dio en forma de respuesta donde esta pregunta se formula de manera diferente, aquí está la respuesta completa:

"No es una respuesta, pero creo que la pregunta podría ser un poco más clara.

Entonces, supongamos que $a$ es un número entero positivo, con base $b$ representación $(a_1a_2\ldots a_k)_b$ , donde $2\le b\le 9$ . Dejemos que $a'$ sea el número entero obtenido al reinterpretar $(a_1a_2\ldots a_k)$ en la base $10$ es decir $a'=(a_1a_2\ldots a_k)_{10}$ .

Si $a'$ es primo, entonces $a$ se dice que $10$ -prima en la base $b$ .

Ahora su pregunta es simplemente: ¿hay algún primo $p$ tal que para cada $n\ge 2$ , $p^n$ es $10$ -prima en la base $b$ para algunos $b$ ?"

Answer 1

Creo que es justo decir que este problema es o bien "trivial" o bien "irresoluble": o bien hay algún argumento rápido que hace imposible que exista tal primo, o bien está muy por encima de nuestras capacidades en este momento. (Las representaciones numéricas de los dígitos no suelen interactuar bien con casi nada).

Hay un argumento heurístico clásico que se utiliza a menudo para problemas como éste, sólo para "calcular" lo que es probable que sea una respuesta: asumir que cualquier número dado $n$ es probable que sea primo con probabilidad $\approx 1/\ln n$ . Ahora, tenga en cuenta que si su número "de trabajo" es $r$ entonces la base $b$ a la base- $10$ conversión de $r$ tendrá un tamaño aproximado de $10^{\log_b(r)}$ por lo que el logaritmo natural de éste será $K_b\ln(r)$ , donde $K=\ln(10)/\ln(b) = \log_b(10)$ . Teniendo en cuenta esto, la probabilidad de que un determinado $r$ no es $10$ -prima en la base $b$ es $1-1/(K_b\ln(r))$ , por lo que la probabilidad de que no sea $10$ -prima en cualquiera de las bases es el producto de esta desde $b=2$ a $9$ Puede que te convenzas de que este producto es $1-K/\ln(r)+\mathcal{O}((\ln r)^{-2})$ para alguna constante $K$ (como $r\to\infty$ ). En otras palabras, la probabilidad de que sea $10$ -prima en al menos una base es aproximadamente $K/\ln(r)+\mathcal{O}(\ln(r)^{-2})$ para algunos $K$ . A continuación podemos introducir $r=p^k$ y escribir esto como $K/(k\ln p)+\mathcal{O}(k^{-2})$ . Por último, la probabilidad de que $p$ es un "maestro de bases" primo es (conceptualmente) el producto de esta probabilidad por $k=1$ a $\infty$ . Pero el producto $\prod_k(\frac ck)$ obviamente llega a cero, y muy rápidamente. Así que al menos heurísticamente, cualquier primo dado tiene $0$ probabilidad de ser un "maestro de las bases" primo.

Dicho esto, como hay infinitos primos, esto no implica por sí mismo que haya una probabilidad cero (incluso heurísticamente) de que no haya primos maestros de base. Esto empieza a estirar aún más la plausibilidad de la heurística, pero podemos imaginarnos tomando el producto infinito de estas probabilidades $\prod_{p=2}^\infty\left(1-\prod_{k=1}^\infty P_{10prime}(p^k)\right)$ e intercambiando los límites implícitos: en otras palabras, encontrar $\displaystyle\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{q\to\infty}\prod_{p=2}^q\left(1-\prod_{k=1}^mP_{10prime}(p^k)\right)$ . Esto es esencialmente tomar el límite como $m\to\infty$ de la probabilidad de que haya algún número primo que sea 10-primo en todas las potencias hasta $m$ . Pero como tenemos $P_{10prime)(p^k)\approx $ K/(k\ln p) $, we have $ \prod_{k=1}^mP_{10prime}(p^k)\Naprox (K^m/m!){(\ln p)^{-m} $, and for all $ m $ the product $ \prod_{p=2}^q\left(1-(K^m/m!)(\ln p)^{-m}\right) $ 'diverges to zero'; this can be shown by some standard theorems on infinite products. So heuristically any given prime has probability $ 0 $ of being a master-of-bases, but for any $ m $ there's probability $ 1 $ that *some* prime is a master-of-bases for all its powers through $ m$ .

Answer 2

No es una respuesta, pero creo que la pregunta podría ser un poco más clara.

Entonces, supongamos que $a$ es un número entero positivo, con base $b$ representación $(a_1a_2\ldots a_k)_b$ , donde $2\le b\le 9$ . Dejemos que $a'$ sea el número entero obtenido al reinterpretar $(a_1a_2\ldots a_k)$ en la base $10$ es decir $a'=(a_1a_2\ldots a_k)_{10}$ .

Si $a'$ es primo, entonces decimos que $a$ es $10$ -prima en la base $b$ .

Ahora su pregunta es simplemente: ¿hay algún primo $p$ tal que para cada $n\ge 2$ , $p^n$ es $10$ -prima en la base $b$ para algunos $b$ ?