Suma del cociente de las funciones Euler phi

Question

Dejemos que $n$ dividir $c$ . Me gustaría encontrar una forma cerrada para la expresión $$\sum_{k \mid c} \frac{\varphi(kn)}{\varphi(k)},$$ donde $\varphi$ es la función phi de Euler. Porque $n$ divide $c$ no siempre es el caso que $\varphi(kn)=\varphi(k)\varphi(n)$ por lo que no podemos simplificarla de esa manera. El método que intenté fue utilizar la fórmula del producto $$ \varphi(k) = k \prod_{p \mid k} \left(1-\frac{1}{p}\right). $$ La suma se puede reescribir como $$ \begin{align} \sum_{k \mid c} \frac{\varphi(kn)}{\varphi(k)} &= \sum_{k \mid c} \frac{kn \prod_{p \mid kn} \left(1-\frac{1}{p}\right)}{k \prod_{p \mid k} \left(1-\frac{1}{p}\right)} \\ & = n \sum_{k \mid c} \prod_{\substack{p \mid n \\ p \not\mid k}} \left(1-\frac{1}{p}\right). \end{align} $$

Sin embargo, no he podido hacer mucho con esto. ¿Cómo se puede simplificar una u otra expresión?

Answer 1

Dado $c,n$ con $n\mid c,$ se puede definir la suma anterior como $f(c,n).$ Ahora bien, si $c,d$ son relativamente primos, y $n\mid c,m\mid d$ podemos demostrar con relativa facilidad que $f(cd,mn)=f(c,n)f(d,m).$

Así que podemos reducir al caso $f(p^a,p^b)$ con $b\leq a$ y $p$ de primera.

Pero $$f(p^a,p^b)=\sum_{i=0}^{a}\frac{\phi(p^{b+i})}{\phi(p^i)}=\phi(p^b)+\sum_{i=1}^a p^{b}=\phi(p^b)+ap^{b}$$

Esto da $$f(p^a,p^b)=\begin{cases}a+1&b=0\\(a+1)p^b-p^{b-1}&b>0\end{cases}$$

Por lo tanto, si $c=p_1^{a_1}\cdots p_j^{a_j}$ y $n=p_1^{b_1}\cdots p_j^{b_j}$ entonces $$f(c,n)=\prod_{i=1}^{j} f\left(p_i^{a_i},p_i^{b_i}\right)=\tau(c)\prod_{p_i\mid n}\left(p_i^{b_i}-\frac{p_i^{b_i-1}}{a_i+1}\right)$$

Dónde $\tau(c)$ es el número de divisores positivos de $c,$ que es $\tau(c)=(a_1+1)\cdots(a_j+1).$

Esto da la desigualdad:

$$\tau(c)\phi(n)\leq f(n,c) \leq \tau(c) n$$