Multiplicar un número por un paréntesis elevado

Question

Tengo un pequeño problema en el cálculo de la segunda derivada de una función, porque no sé cómo calcular esta operación:

$(2x)*(x+2)^2$

Tengo que calcular el $(x+2)^2$ de esta manera: $(x^2+4+4x)$ y luego multiplicar cada término por $(2x)$ ¿o hay otra forma más rápida?

Gracias

Answer 1

Hay dos formas de hacerlo, bien utilizando una combinación de las reglas del producto y de la función interna como en la otra respuesta, o bien simplificando la expresión tal y como indicas:

$$(2x) \cdot (x+2)^2 = (2x) \cdot (x^2 + 4x + 4) = 2x^3 + 8x^2 + 8x$$

cuya segunda derivada es $12x + 16$ .

Answer 2

Utilice la regla del producto $(fg)' = f'g + g'f$ con $f = 2x$ y $g = (x+2)^2$ por lo que se obtiene $$(2x(x+2)^2)' = (2x)'(x+2)^2 + ((x+2)^2)'(2x)$$

dando $$2(x+2)^2 + 4x(x+2) = 2(x+2)(x+2+2x) = 2(x+2)(3x+2)$$ y luego diferenciar de nuevo con la regla del producto con $f = x+2$ y $g = 3x+2$ da la derivada de $(x+2)(3x+2)$ como $$(x+2)'(3x+2) + (3x+2)'(x+2) = 3x+2+3(x+2)$$

y la contabilización del factor de $2$ te da lo que quieres: $4(3x+4)$