Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria que tiene cuarto momento finito, es decir $X\in L^4$ y que tiene una varianza no nula, es decir $\mathsf V(X)\neq0$ . Quiero demostrar que el curtosis de $X$ está limitada por debajo por su asimetría al cuadrado más 1, es decir, que
$$\mathsf E\left(\left(\frac{X-\mathsf E(X)}{\sqrt{\mathsf V(X)}}\right)^4\right)\geq1+\mathsf E\left(\left(\frac{X-\mathsf E(X)}{\sqrt{\mathsf V(X)}}\right)^3\right)^2.$$
Mi intento. Si multiplicamos ambos lados por $V(X)^3$ se reduce a, donde $\lVert\cdot\rVert_{L^p}$ denota el $L^p$ -norma ,
$$\lVert X-\mathsf E(X)\rVert_{L^4}^4\lVert X-\mathsf E(X)\rVert_{L^2}^2\geq \lVert X-\mathsf E(X)\rVert_{L^2}^6+\lVert X-\mathsf E(X)\rVert_{L^3}^6.$$
La desigualdad es homogénea ya que ambos lados son de " $6$ -ésima potencia", por lo que esperaría que esto fuera reducible a alguna desigualdad analítica conocida. ¿Puede alguien ayudarme a hacerlo?
