Supongamos que tengo un grupo $G \cong \mathbb{Z}$ y un homomorfismo $f : G \to G$ es $f$ siempre se multiplica por $m$ para algunos $m \in \mathbb{Z}$ ? Dicho de forma más precisa, ¿es $f$ definido por $f(x) = mx$ para todos $x \in G$ ?
La razón por la que $f$ sería la multiplicación por $m$ es probablemente porque todos los homomorfismos de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$ son la multiplicación por $m$ para algunos $m \in \mathbb{Z}$ .
Permítame hacer esta pregunta un poco más rigurosa. Elija un isomorfismo $\psi : G \to \mathbb{Z}$ . Ahora estoy asumiendo (pero no sé cómo mostrar), que $f$ induce un homomorfismo $\gamma : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ y produce el siguiente diagrama conmutativo
$$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{f} & G \\ \da{\psi} & & \da{\psi^{-1}} \\ \mathbb{Z} & \ra{\gamma} & \mathbb{Z} \\ \end{array} $$
Entonces, si lo anterior es cierto, ya que $\gamma$ es un homomorfismo de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$ entonces tenemos $\gamma(x) = mx$ para todos $x \in \mathbb{Z}$ por lo que tenemos \begin{align*} f(x) &= \psi^{-1}(\gamma(\psi(x))) \\ &= \psi^{-1}(m\cdot \psi(x)) \\ &= m \left( \psi^{-1}(\psi(x)\right) \\ &= mx \end{align*}
para todos $x \in G$ y así $f$ es la multiplicación por $m$ en este caso. Pero en la construcción anterior (que ni siquiera sé si es cierta), no sé si $f$ induce una único homomorfismo $\gamma$ haciendo que el diagrama conmute, y si $m$ es independiente de la elección del isomorfismo de $G$ a $\mathbb{Z}$ .
También podría darse el caso de que esté viendo esto mal y un homomorfismo de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$ induce un homomorfismo único $f : G \to G$ (que supongo que parece un poco más natural en este contexto), y es justo ese caso que todos los homomorfismos de $G$ a $G$ son inducidos por homomorfismos de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$ .
