La serie aritmética tiene un primer término

Question

Una serie aritmética tiene un primer término a y una diferencia común d. La suma de los 31 primeros términos de la serie es 310

a) Demuestra que a + 15d = 10

b) Dado también que el término 21 es el doble del término 16, encuentra los valores de a y d.

Answer 1

SUGERENCIA: La primera $31$ los términos son $a,a+d,a+2d,\dots,a+30d$ por lo que su suma es

$$\begin{align*} \underbrace{a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+30d)}_{31\text{ terms}}&=31a+(d+2d+3d+\ldots+30d)\\ &=31a+d(1+2+3+\ldots+30)\;. \end{align*}$$

¿Sabes la fórmula de la suma de los primeros $n$ ¿números enteros positivos? Usándolo (o cualquier otro método legítimo) calcula $1+2+\ldots+30$ . Llama a esta suma $s$ . Entonces te dicen que $31a+ds=310$ . Si lo has hecho bien, podrás simplificar esa ecuación para mostrar que $a+15d$ es un número determinado, pero ese número no es $0$ : tiene un error tipográfico en el problema.

Para la segunda parte, utilice el hecho de que el $16$ -el término es $a+15d$ (por qué $15$ y no $16$ ?), y el $21$ -st es $a+20d$ . Expresa el hecho de que $a+20d$ es dos veces $a+15d$ como una ecuación lineal en $a$ y $d$ Combínalo con la ecuación $31a+ds=310$ (o la versión simplificada que obtuviste en la parte (a)), y resuelve el sistema resultante de dos ecuaciones lineales en las incógnitas $a$ y $d$ .

Answer 2

$$(31/2)(2a_1+30d)=310$$ $$(1)...a_1+15d=10$$ $$a_{21}=2a_{16}$$ $$a_1+20d=2a_1+30d$$ $$(2)...a_1=-10d$$

poner $(2)$ en $(1)$ obtenemos $d=2$ y luego obtener $a_1=-20$

Answer 3

A) Sabemos que la enésima suma parcial de una secuencia aritmética es $$S_n = {n(a_1 + a_n)\over2}$$ y que $$a_n = a_1 + (n-1)d$$

ya que sabemos $S_{31} = 310 = {31\over2}(a_1+a_{31})$ y $a_{31} = a_1 + 30d$ podemos sustituirlo para obtener $$310 = {31\over2} (2a_1+30d) = 31(a_1+15d)$$ Dividiendo ambos lados por 31, obtenemos $$a_1+15d = 10$$

b) Sabiendo que $a_{21} = 2a_{16}$ nos permite sustituir esos números en nuestra segunda ecuación. $$a_1 + 20d = 2a_1 + 30d$$ simplificado, $a_1 = -10d$ .

Ahora usamos eso con la ecuación que probamos en a) y sustituimos para obtener $5d=10$ o $d=2$

A continuación, utilizamos $d$ para encontrar $a_1=-20$ .