calcular la integral de una función dada

Question

Consideremos la siguiente integral

mientras que si calculamos desde -infinito hasta más infinito entonces dice que

Generalmente debería ser 1/infinito +1/infinito, ¿verdad? que debería ser igual a cero, entonces ¿por qué dice que la integral no converge?

Answer 1

El problema es que no hay una primitiva de $-\frac1{t^2}$ en todos los $\mathbb R$ . $\frac1t$ es una primitiva de $-\frac1{t^2}$ en $(-\infty,0)$ y en $(0,\infty)$ pero no en $\mathbb R$ . Así, $$\int_{-\infty}^\infty -\frac1{t^2}\ \mathrm dt \ne \frac1{\infty} - \frac1{-\infty}$$ Mirando más de cerca y utilizando la simetría se puede ver que en realidad $$\int_{-\infty}^\infty -\frac1{t^2}\ \mathrm dt = 2\int_0^\infty -\frac1{t^2} \ \mathrm dt = -\infty$$ Donde la última integral puede ser "evaluada" a $-\infty$ utilizando la primitiva en $(0,\infty)$ .

Algo similar ocurre con $\int \frac1t\ \mathrm dt$ con la primitiva $\ln |t|$ en $(-\infty,0)$ y $(0,\infty)$ . Aquí puede ver que $\int_{-1}^1 \frac1t\ \mathrm dt$ es en realidad indefinido aunque $[\ln |t|]_{-1}^1 = 0$ .