Lanzar una moneda: ¿qué es más probable?

Question

Estoy resolviendo el siguiente ejercicio de probabilidad. La solución que he encontrado es muy contra intuitiva y siento que es incorrecta, pero no puedo entender por qué.

Una moneda justa se lanza dos veces, tienes que decidir si es más probable que salgan dos caras aparezcan dado que: 1) al menos un lanzamiento es cara, 2) el segundo lanzamiento fue cara.

Solución

Dejemos que $A$ sea el evento "el primer lanzamiento es cabeza" y que $B$ sea el evento "el segundo lanzamiento es cabeza".

Para el caso 1,: $$ P(A \cap B \vert A \cup B) = \frac{P(A \cap B \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$$

Para el caso 2:

$$ P(A \cap B \vert B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$$

¿Es esto correcto? Siento que el caso $1$ debería ser más probable, dado que al menos puede significar que ya hay dos cabezas?

¿Puede alguien arrojar algo de luz?

Answer 1

Es correcto.

Hay cuatro resultados igualmente probables (HH, HT, TH, TT) de los cuales uno tiene dos cabezas (HH).

En la pregunta (1) hay otras dos posibilidades (HT, TH).

En la pregunta (2) sólo hay otra posibilidad (TH). Esto hace que HH sea condicionalmente más probable al excluir la consideración de uno de los éxitos parciales que la pregunta (1) consideraría.

Answer 2

Tienes razón.

Si quieres, lee sobre la paradoja chico-chica aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox Se trata de un problema muy similar, en el que te digo algo parecido a "El señor Smith tiene dos hijos, y uno de ellos es un niño". Entonces tienes que intentar descifrar si mi intención era decírtelo:

• O algo así: Ayer conocí al hijo mayor del Sr. Smith, que es un niño. Esto significa que sé que el espacio muestral de los hijos del señor Smith es {BG, BB} con igual probabilidad.
• O algo así: El Sr. Smith fue invitado a un evento al que sólo se invita a los padres de niños. Así que sé que uno de sus hijos es un niño, y posiblemente ambos. Así que sé que el espacio muestral es {BG,BB,GB}, pero con igual probabilidad, ya que no tengo ninguna razón para suponer una combinación sobre la otra.

En la primera, la probabilidad de dos niños es la mitad, y en la segunda, un tercio.

Por supuesto, el verdadero problema es que el lenguaje natural no se adapta bien a las afirmaciones precisas de los matemáticos (lo que debe ser en parte la razón por la que nunca sé de qué está hablando nadie). Esto es especialmente cierto en el caso de la probabilidad. Cuando alguien dice casualmente "uno de los niños es un chico", no quiere decir "existe un niño tal que es hijo del señor Smith, y ese niño es un chico". Pero cuando en un examen de matemáticas se dice eso, sí que es lo que se quiere decir.

Así que en tu ejemplo, la afirmación 1) "al menos una es una cabeza", se te está diciendo una información muy precisa, que es más débil que decir "he visto el primer lanzamiento y era una cabeza". En realidad se le está diciendo algo así como: "He visto un millón de lanzamientos de dos monedas. He descartado todos los ejemplos de dos colas. He escogido al azar uno de los ejemplos restantes y te doy ese ejemplo".

Espero que esto ayude.