topología del anillo de vectores de Witt en la teoría de los anillos de periodo de Fontaine

Question

Para un $p$ -campo de la adicción $K$ con un campo de residuos perfecto $k$ conocemos la construcción estándar del anillo $R$ . Lo recordaré brevemente. Es $\varprojlim_{x \rightsquigarrow x^p} O_{C_K}/pO_{C_K}$ con adición de componentes. Resulta que $R$ es un anillo perfecto de característica $p$ que también es un anillo de valoración completo (no discreto), y denotemos el mapa de valoración por $v_R$ . El campo de residuos de $R$ es el cierre algebraico $\overline{k}$ del campo de residuos $k$ de $K$ . Podemos formar el anillo $W(R)$ de los vectores de Witt de $R$ y podemos formar el anillo $W(\textrm{fof}(R))$ de vectores de Witt del campo de fracciones $\textrm{fof}(R)$ de $R$ . Es un hecho conocido que $\textrm{fof}(R)$ es algebraicamente cerrado. Como $\textrm{fof}(R)$ es un campo perfecto de característica positiva, $W(\textrm{fof}(R))$ es un d.v.r. con $p$ como generador del ideal máximo. Pero $R$ no es un campo, por lo que $W(R)$ no es una d.v.r., sino que es completa con respecto a la topología generada por las potencias de $p$ . Pero como la construcción de $W$ es functorial, existe un mapa de inclusión $W(R) \hookrightarrow W(\textrm{fof}(R))$ .

1) ¿Cuál es la topología en $W(R)$ ? ¿Es la topología del subespacio de $W(\textrm{fof}(R))$ ? Supongo que no, ya que el $p$ -Valoración de los daños en $W(\textrm{fof}(R))$ "olvida" $v_R$ es decir, cada elemento no nulo de $\textrm{fof}(R)$ y, por tanto, cada elemento no nulo de $R$ se convierte en una unidad en $W(\textrm{fof}(R))$ pero no necesariamente en $W(R)$ .

2)Que $\varepsilon$ sea el elemento de $R$ dada por la secuencia $(\zeta_{p^n}-1 \mod p)$ . Consideremos el ascensor de Teichmuller $[\varepsilon] \in W(R)$ y establecer $\pi_\varepsilon := [\varepsilon]-1$ . Ahora la afirmación es que las series de potencias en $\pi_\varepsilon$ con, digamos, coeficientes enteros convergen en $W(R)$ . (Esta es una afirmación no comprobada en El libro de Fontaine en la página 79). Desde $W(R)$ no es un anillo de valoración, pensé en mostrar que $\pi_{\varepsilon}$ o al menos una potencia de la misma está en $pW(R)$ . Observamos que $\pi_{\varepsilon}=(\varepsilon-1, \ldots)$ como elemento en $W(R)$ pero un elemento de $pW(R)$ tiene la primera coordenada $0$ que en este caso, $\varepsilon-1$ no lo es. ¿Qué me falta? En realidad puedo demostrar que $\pi_{\varepsilon} \in pW(R)$ utilizando el mapa $\theta: W(R)\to O_{C_K}$ Pero como todo esto es tan confuso, me gustaría saber en qué me he equivocado arriba.

Answer 1

Hay (al menos) dos topologías diferentes en todos esos anillos, y esa es la fuente de su confusión.

Ambos en $W(R)$ y $W(fof(R))$ uno tiene

• el $p$ -topología de la adicción, en la que, por ejemplo, una base de vecindades de $0$ viene dada por $(p^n W(R))_n = V_n(W(R))$ resp. $(p^n W(fof(R)))_n = V_n(W(fof(R)))$ donde $V_n$ es la Verschiebung sobre los vectores de Witt, todo esto sólo significa que la primera $n$ componentes de los respectivos vectores de Witt son $0$ ;

• la topología "débil" ("topologie faible" en algunas fuentes francesas, por ejemplo en los primeros trabajos de (Cherbonnier-)Colmez). Esto viene dado por la dotación de los vectores de Witt, que como conjunto son simplemente $R^{\Bbb N}$ resp $fof(R)^{\Bbb N}$ después de todo, con la topología del producto, donde en cada componente se toma la topología de valoración de $R$ resp. $fof(R)$ . Una base de barrios de $0$ viene dada, por tanto, por conjuntos en los que "las primeras coordenadas vectoriales de Witt son pequeñas respecto a $v_R$ ".

Cosas a tener en cuenta:

1. La topología p-ádica también puede describirse como topología de producto, si en cada componente se toma la topología discreta en lugar de la topología de valoración en $R$ resp. $fof(R)$ .
2. Tanto el $p$ -y la topología débil en $W(R)$ coinciden con las topologías de los subespacios de sus respectivas versiones en $W(fof(R))$ .
3. En el pequeño subconjunto $W(\bar k)$ sin embargo, ambas (¡!) topologías sólo inducen a la vieja $p$ -la topología de los ácidos como topología de los subespacios.
4. Sin embargo, en cuanto a la segunda parte de su pregunta 1), algunos elementos que son unidades en $W(fof(R))$ pero no en $W(R)$ no tiene mucho que ver con ninguna topología. Además, parece implicar elementos de $R$ para que sean elementos de $W(R)$ lo que no tiene sentido (¿quizás te refieres a sus representantes de Teichmüller?) De todos modos, en general para un anillo conmutativo $A$ de la característica $p$ con un único ideal maximal $\mathfrak{m}$ los vectores de Witt $W(A)$ son un anillo local con ideal máximo $m_{W(A)} = \lbrace (x_0, x_1, ...) \in W(A) : x_0 \in \mathfrak{m}\rbrace$ . En particular, las unidades de $W(R)$ son sólo aquellos elementos cuya componente cero satisface $v_R(x_0) =0$ mientras que en el anillo mayor $W(fof(R))$ las unidades son todos los elementos cuya componente cero es $\neq 0$ (más elementos tienen inversos, como ocurre con las extensiones de anillos).
5. Todos los anillos considerados son anillos topológicos con respecto a todas las topologías mencionadas, y además, como tales son completa .
6. Para un elemento $x = (x_0, x_1, ...) \in W(fof(R))$ tenemos $$v_R(x_0) > 0 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty} x^n = 0 \text{ w.r.t. the weak topology}$$

Ahora $\pi_\epsilon$ es un $x$ como en el nº 6 (su $0$ -el componente número uno es $\epsilon -1$ cuyo $R$ -la valoración, si no recuerdo mal, es $v_R(\epsilon-1) =p/(p-1)$ ). Entonces la "afirmación no comprobada" de que las series de potencia en $\pi_\epsilon$ (con, por ejemplo, coeficientes acotados $\in W(\bar k)$ ) sí convergen (con respecto a la topología débil) se puede demostrar a partir de los números 3, 5 y 6 (y quizás el hecho de que $v_R$ induce una ultramétrica).

Tenga en cuenta que es no es cierto que $\pi_\epsilon \in pW(R)$ (como se ha dicho, su imagen en $W(R)/pW(R) \simeq R$ es $\epsilon-1$ ), y cualquier prueba que crea tener para ello debe ser errónea. En consecuencia, con respecto a la $p$ -topología de los ádicos, las potencias de $\pi_\epsilon$ ni siquiera convergen a $0$ .

(Yo escribí mi tesis de licenciatura sobre todo esto. En las secciones 3.1 y 3.2 hay una discusión detallada y pruebas de todos los puntos anteriores, pero está en alemán. (Allí llamé a la topología débil "N-Topologie").