solución de laplace

Question

He resuelto el siguiente problema \begin{align*} -\nabla^2 u=1 \quad \text{in} \quad \Omega\\ u=0 \quad \text{in} \quad \partial\Omega \end{align*} Para $\Omega = \{(x,y) : a^2<x^2+y^2<b^2 \} $ pero me gustaría resolver el mismo problema en $\Omega = \{(x,y,z) : a^2<x^2+y^2+z^2<b^2 \} $ Así que me gustaría un poco de ayuda, ya que estoy teniendo algunos problemas tratando de hacer esto, uno de los problemas es que he utilizado el hecho de que $\theta$ era constante, pero no sé si eso sigue ocurriendo y qué pasa con el otro ángulo, así que cualquier ayuda sería útil

Gracias de antemano

Answer 1

Aprovechando la simetría esférica podemos escribir

$$\nabla^2u=\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)=-1 \tag 1$$

para $a<r<b$ . Entonces, resolviendo $(1)$ para $u$ produce

$$u=-\frac16r^2+\frac Ar+B$$

Aplicando las condiciones de contorno en $r=a$ y $r=b$ revela

$$\frac Aa+B=\frac16 a^2\\\\\frac Ab+B=\frac16 b^2$$

Resolver para $A$ y $B$ encontramos $A=-\frac16 ab(a+b)$ y $B=\frac16(a^2+ab+b^2)$ . Si lo juntamos todo, obtenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{u=\frac16 (a^2+ab+b^2-r^2)-\frac{ab(a+b)}{6r}}$$