Divisores de secuencia $n,P(n),P(P(n)),\ldots$

Question

Deje $P(x)$ ser un polinomio con número entero no negativo de los coeficientes que consta de más de un término distinto de cero. Deje $n$ ser un entero positivo. Es el conjunto de números primos que dividen al menos un número en la secuencia $n,P(n),P(P(n)),\ldots$ necesariamente infinito?

Al $P(x)$ consta de un solo término, el conjunto de primos divisores es siempre finito. (Por ejemplo, $P(x)=5x^9$.) Mi conjetura es que cuando $P(x)$ se compone de más de un término, el conjunto de primos divisores es siempre infinito. Pero, ¿cómo podemos relacionar el primer divisores entre el$k$$P(k)$?

Answer 1

Suponga $P(0) \ne 0$. Deje $e(m)$ ser el menor número positivo tal que $P^{e(m)}(0) \equiv 0$ mod $m$ (si existe). Si $S$ es el conjunto finito de números primos supongamos que se permitió dividir $P^k(n)$ con arbitrariamente alto exponente, podemos optar $x$ lo suficientemente grandes como para todos los $p \in S$, $e(p^x) \ge |S| + 1$. Ahora en cualquier contiguos de larga de duración $|S| + 1$ podemos encontrar al menos un valor que no es divisible por $p^x$ cualquier $p \in S$ (por el principio del palomar), pero el mayor valor es $\prod_{p \in S}p^{x-1}$, y la secuencia está aumentando sin límite: la contradicción.

Por desgracia no sé qué hacer acerca de la $P(0) = 0$ de los casos. Lo primero que se puede escribir $P(x) = x^a \cdot Q(x)$ donde $Q(0) \ne 0$ pero no puedo averiguar cómo adaptar el argumento anterior.