Puede conmutar matrices de $X,$ Y siempre ser escrito como polinomios de la matriz $A$?

Question

Considere las matrices cuadradas sobre un campo $K$. No creo que los supuestos adicionales de aproximadamente $K$ como algebraicamente cerrado o característica $0$ pertinentes, pero siéntase libre de hacer ellos para mayor comodidad. Para cualquier matriz $A$ la $K[A]$ de polinomios en $Un$ es conmutativa subalgebra de $M_n(K)$; la pregunta es si para cualquier par de matrices que conmutan $X,$ Y, al menos, uno de esos conmutativa subalgebra se puede encontrar que contiene tanto $X$ y $Y$.

Me estaba haciendo esto en relación con el recurrente solicita completamente caracterizar los desplazamientos pares de matrices, como este. Mientras que proporciona una útil caracterización parece imposible, un resultado positivo de anwer a la pregunta sería, al menos, algunos de respuesta.

Tenga en cuenta que en muchas más probabilidades de situaciones uno puede tomar $A$ a ser una de las matrices de $X,$ Y, por ejemplo, cuando una de las matrices tiene distintos valores propios, o, más generalmente, si su mínima polinomio tiene grado $n$ (así coincide con el polinomio característico). Sin embargo esto no es siempre posible, como puede verse fácilmente, por ejemplo, la diagonal de las matrices $X=\operatorname{diag}(0,0,1)$ y $Y=\operatorname{diag}(0,1,1)$. En caso de que ambos polinomios en $A=\operatorname{diag}(x,y,z)$ para cualquier distintos valores de $x,y,z$ ($K[A]$ compone de todas las diagonales de las matrices); aunque en el ejemplo en esta respuesta las matrices no son tanto diagonalisable, un $A$ se puede encontrar allí.

Pensé por algún tiempo que cualquier máxima conmutativa subalgebra de $M_n(K)$ es de la forma $K[A]$ (que implicaría una respuesta positiva) para algunos $$ con un mínimo de polinomio de grado$~$ n, y que una respuesta positiva a mi pregunta, de hecho fue instrumental en probar este. Sin embargo, yo estaba equivocado en ambas cosas: no existen (por $n\geq 4$) conmutativa subalgebras de dimensión${}>n$ (mientras que $\dim_KK[A]\leq n$ para todo $A\in M_n(K)$) como se muestra en este MathOverflow respuesta, y me vi obligado a corregir un anwer me dio aquí en la luz de esta; sin embargo parece ser (al menos en los casos que he mirado) que muchos (todos?) pares de matrices de $X,$ Y en una subalgebra todavía admitir una matriz $A$ (que en general es no en la subalgebra) tales que $X,Y\in K[A]$. Esto indica que una respuesta positiva a mi pregunta no estaría en contradicción con la existencia de grandes conmutativa subalgebras: se acaba de decir que para obtener una máxima dimensiones subalgebra con $X,$ Y uno debe, en general, evitar tirar en un $A$ con $X,Y\in K[A]$. Yo creo que estos grandes subalgebras demostrar fácilmente que mi pregunta, pero para tres desplazamientos de matrices tiene una respuesta negativa.

Por último quiero señalar que esta otra respuesta a la citada MO pregunta menciona un resultado por Gerstenhaber que la dimensión de la subalgebra generado dos matrices que conmutan en $M_n(K)$ no puede exceder los$~$ n. Lamentablemente, esto no resuelve mi pregunta (si $X,Y$ generaría una subalgebra de dimensión${}>$ n, se hubiera demostrado una respuesta negativa); sólo podría ser que el mencionado resultado es la verdadera causa de la existencia de $Un$ (no tengo acceso a una prueba ahora mismo, pero dada la formulación parece improbable que fue hecho de esta manera).

OK, he tratado de construir el suspenso. La honestidad exige que digo que yo sé la respuesta a mi pregunta, ya que un colega de la mina siempre convincente. Yo sin embargo no dar esta respuesta de inmediato, pero después de una vez ha habido algo de tiempo para recolectar las respuestas aquí; ¿quién sabe alguien va a probar una respuesta diferente de la que tengo yo (dios no lo quiera), o al menos dar la misma respuesta con una justificación diferente.

Answer 1

Como prometí voy a responder a mi propia pregunta. La respuesta es negativa, puede suceder que $X$ y $Y$ no puede ser escrito como polinomios de cualquier matriz $A\in M_n(K)$.

Siguiendo el comentario de Martin Brandeburgo, esto puede ocurrir incluso cuando $X$ y $Y$ son ambos diagonal, si el campo $K$ es demasiado pequeño. De hecho, si $K$ es un campo finito de $q$ elementos, a continuación, para cualquier diagonalisable de la matriz $A$ un $\dim K[A]\leq q$ porque $q$ limita el grado de división de polinomios sin múltiples raíces, y el polinomio mínimo de $Un$ debe ser de este tipo. Esto significa que cuando $n>p$ la dimensión $n$ de la subalgebra $D$ de todas las diagonales de las matrices es demasiado grande para ser de la forma $K[A]$ para uno de sus miembros. Y mientras $n\leq q^2$, uno puede encontrar la diagonal de las matrices de $X,$ Y que generan todos los de $, D$, mientras se asegura de que todas las matrices$~$ desplazamientos con tanto $X$ y $Y$ debe ser diagonal; esto excluye a encontrar $A$ con $X,Y\in K[A]$. De hecho, uno puede arbitrariamente de la etiqueta de cada uno de los $n$ estándar de la base de vectores con elementos distintos de $K\times K$, y definir $X,$ Y, de modo que cada uno de esos base de vectores es un común autovector, con los respectivos autovalores dado por los dos componentes de la etiqueta; fácilmente se da cuenta de cada proyección en el $1$-espacio tridimensional generado por uno de los estándar de los vectores de la base como un polinomio en $X,$ Y, obligar a cualquier matriz de los desplazamientos con tanto $X$ y $Y$ (y por lo tanto con estas proyecciones) para ser diagonal.

Pero para ejemplos válidos en el campo arbitrario, es mejor centrar la atención en nilpotent matrices, evitando la "regular" con un mínimo de polinomio $X^n$ (y, por tanto, con un solo bloque de Jordan). El contraejemplo que yo tenía en mente era la par de $4\times4$ matrices de cada uno de Jordania tipo $(2,2)$: $$ X=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix} ,\qquad Y=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} ,\qquad \text{que han } XY=YX=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} $$ mientras que $X^2=Y^2=0$. A continuación, el álgebra $K[X,Y]$ ha dimensión $4$, y está contenida en el subalgebra de triangular superior matrices $A$ con idéntico diagonal entradas y también $A_{2,3}=0$. Para cualquier $$ en este subalgebra, y por lo tanto, en particular, de $A\in K[X,Y]$, uno tiene $\dim K[A]\leq3$, ya que $(A-\lambda I)^3=0$, donde $\lambda$ es el común de la diagonal de la entrada de $A$; en particular, $K[A]\no\supseteq K[X,Y]$ por ejemplo$~$. Pero uno también tiene $\dim K[A]\leq4$ cualquier $A\in M_4(K)$, y esto demuestra que no se puede tener $K[A]\supseteq K[X,Y]$ menos que $A\in K[X,Y]$, y por lo tanto, no tiene en absoluto.

La respuesta en el MO hilo indicado en la otra respuesta indica que hay contraejemplos incluso para $n=3$; de hecho, es suficiente para despojar a la primera fila y de columna o de la última fila y la columna fuera de las matrices $X,$ Y dada anteriormente. El argumento es similar, pero aún más sencillo para ellos. Las matrices resultantes generar la plena subalgebra de las matrices de la forma
$$ \begin{pmatrix}\lambda&a&b\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda \end{pmatrix} \quad \text {, respectivamente, de la de forma}\quad \begin{pmatrix}\lambda&0&b\\0&\lambda y un\\0&0&\lambda \end{pmatrix}; $$ tener dimensión $3$ sólo puede ser contenida en $K[A]$ si $a$ es en el subalgebra, pero entonces el polinomio mínimo de $Un$ ha título en más de $2$ por lo que el álgebra se genera puede ser de que subalgebra.

Estos dos subalgebras son los análogos de la conmutativa subalgebra de dimensión${}>$ n que he mencionado en la pregunta, pero para el caso $n=3$ donde su dimensión sólo es igual a $n$. Si se había molestado en mirar esta más modesta caso, en lugar de ir directamente a por el "excesivo" subalgebra de $n\geq4$ de inmediato, entonces yo podría haber encontrado este ejemplo a mí mismo; supongo que uno nunca debe descuidar el pequeño de los casos.

Answer 2

La respuesta es dada en la respuesta de MO/34314. No klick cuando se desea mantener el suspense.