Demostrar que una función es una métrica

Question

Definir una función $d : \mathbb{Z × Z \to R}$ al establecer $d(x, x) = 0$ para todos $x \mathbb{Z}$ y si $x \ne y$ , ajuste $d(x, y) = 3^{-k}$ donde $3^k$ es la mayor potencia de $3$ dividiendo $x y$ . Demostrar que $d$ es una métrica en $\mathbb{Z}$ .

He demostrado las tres primeras partes necesarias para demostrar que es una métrica, pero no puedo averiguar cómo demostrar la desigualdad del triángulo para la función. Sé que tengo que demostrar $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ pero no sé cómo hacerlo para esta función.

Answer 1

Vamos a escribir $x-y$ como $3^k m$ , donde $3$ es coprima de $m$ y, de forma similar, establecer $y-z$ = $3^j n$ . Supongamos sin pérdida de generalidad que $k \le j$ Entonces $x-z$ = $3^k(m + 3^{j-k}n)$ . ¿Por qué esto resuelve su problema?

(Le sugiero que trate por separado los casos en los que $k = j$ y $k < j.$ )

Answer 2

Esta es la $3$ -Métrico . Podemos simplificar la cuestión para demostrar que el $3$ -normativa de la adicción $|0|_3=0$ , $|x|_3=3^{-\nu_3(x)}$ (donde $\nu_3(x)$ es la mayor potencia de $3$ dividiendo $x$ ) es una norma, lo que significa que $|x|_3=|{-x}|_3$ , $|x|_3=0\iff x=0$ , $|x+y|_3\le|x|_3+|y|_3$ (la definición habitual de norma incluye $|xy|_3=|x|_3|y|_3$ pero no lo necesitamos para la afirmación métrica). La propiedad importante de $\nu_3(x)$ que necesitamos es que $n\le\nu_3(x)$ si $3^n\mid x$ .

De hecho, es un ultramétrico: $|x+y|_3\le\max(|x|_3,|y|_3)$ . La reclamación es trivial si cualquiera de $x,y,x+y$ es cero, así que supongamos que todos son distintos de cero. Entonces, de forma equivalente, queremos demostrar $\min(\nu_3(x),\nu_3(y))\le\nu_3(x+y)$ o $k\le\nu_3(x)\land k\le \nu_3(y)\implies k\le\nu_3(x+y)$ . Desplegando la definición de $\nu_3$ esto significa que $3^k\mid x$ y $3^k\mid y$ implica $3^k\mid x+y$ que es una propiedad elemental de la divisibilidad.

Obsérvese que todo este análisis sigue siendo válido si $3$ se sustituye por un número entero cualquiera $p>1$ , lo que da lugar a la $p$ -métricas de los enfermos (aunque hay que suponer que $p$ es primo para la mencionada identidad $|xy|_p=|x|_p|y|_p$ ).