¿Existe un significado geométrico de $\limsup_{n\to\infty }A_n$ ?

Question

Dejemos que $(A_n)$ una secuencia de conjuntos. ¿Cómo puedo ver geométricamente $\limsup\limits_{n\to\infty} A_n$ ? He intentado hacer dibujos, pero no veo realmente cómo funciona.

Sé que $x\in\limsup\limits_{n\to\infty }A_n$ si para todo $n\in\mathbb N$ hay un $p\in\mathbb N$ tal que $x\in A_k$ para todos $k\geq p$ o, en otras palabras, que $x\in A_k$ para un número infinito de $A_k$ . Pero no dice mucho. Me gustaría una visión geométrica si es posible.

Answer 1

Supongo que el orden de los conjuntos es la inclusión. Entonces $\displaystyle\sup_{k\ge n}A_k=\bigcup_{k\ge n}A_n$ consiste en partir de la unión de todos los $A_n$ s, y eliminando uno de estos conjuntos a la vez: $$\bigcup_{k}A_k\supset\bigcup_{k\ge 1}A_k\supset\dotsm\supset \bigcup_{k\ge n}A_k\supset\dotsm.$$ Así, el límite de esta secuencia no creciente de conjuntos es su intersección: $$\limsup_n A_n=\bigcap_n\Bigl(\bigcup_{k\ge n}A_k\Bigr).$$

Answer 2

Si $(A_n)$ es una secuencia creciente de conjuntos (es decir $A_{n}\subset A_{n+1}$ ), es muy fácil tener una interpretación de $\bigcup_{i=1}^\infty A_n$ . Lo mismo, si $(C_n)$ es decreciente (es decir $C_{n+1}\subset C_n$ ), es muy fácil tener una interpretación de $\bigcap_{i=1}^\infty C_n$ . Ambos son muy intuitivos.

Pero si no estamos en esa condición ideal, podemos intentar conseguir esa condición en el camino del sorteo. El $B_i$ que he dibujado son tales que $(B_n)$ es decreciente, y por tanto $\bigcap_{n=1}^\infty B_n$ tiene ahora un sentido intuitivo, y lo llamamos el $\limsup A_n$ .

Ahora hay que imaginar que nuestra secuencia de conjunto es infinita y reproducir el mismo esquema.

Espero que sea más claro (perdón por la mala calidad de mis dibujos, pon que es complicado dibujar en el ordenador).