Aplicación del teorema de Heine-Borel.

Question

Necesito decidir si esta proposición es verdadera o no: "Un conjunto contable es siempre compacto". Mi primer pensamiento es NO. Como prueba sencilla presentaría un contraejemplo: ya que $\mathbb{N}$ es contable si la afirmación fuera cierta implicaría que es compacta. La compacidad (por el teorema de Heine-Borel) requiere cercanía (que en este caso se cumple) y limitación (que no se cumple). Por esta razón la afirmación no es cierta. Ahora bien, sé que en ciertos espacios la propiedad de Heine-Borel no se cumple, y por eso me gustaría saber si en este caso tan genérico (el ejercicio no aporta ninguna otra información) esta "prueba" es válida. Si no es así, me gustaría saber qué condiciones extra debo imponer para que sea cierta. Gracias de antemano.

Answer 1

El carácter abierto de esta pregunta se reduce realmente a qué conjunto y a qué topología de ese conjunto tiene en mente el autor de la pregunta. Si ambos datos se dejan abiertos a la interpretación por parte del que responde, entonces tu respuesta es perfectamente correcta. Lo que muestra tu respuesta es que los conjuntos contables no siempre son compactos, en el sentido más general.

El teorema de Heine-Borel dice que un subconjunto de $\mathbf R$ dotado de su topología habitual, es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. La colección $\mathbf N$ de los números naturales, considerado como un subconjunto de $\mathbf R$ es contable, cerrado y no limitado, por lo que no es compacto según Heine-Borel.

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Si quisiéramos modificar la pregunta para considerar sólo ciertos tipos de espacios topológicos, es decir, conjuntos equipados con ciertos tipos de topologías, entonces quizá podamos obtener respuestas diferentes. Por ejemplo, cualquier subconjunto contable (de hecho, cualquier subconjunto) de un conjunto dotado de la topología indiscreta es compacto.

Answer 2

Miscelánea.

(1). En el espacio de Sierpinski $S=\{1,2\}$ los conjuntos $\emptyset, S,$ y $\{1\}$ están abiertos pero $\{2\}$ no es abierto. Cualquier subconjunto finito de cualquier espacio es un subconjunto compacto por lo que $\{1\}$ es un subconjunto compacto de $S.$ Pero $\{1\}$ no es cerrado porque su complemento $\{2\}$ no está abierto. Este pequeño espacio es útil para un gran número de ejemplos y contraejemplos en topología.

(2). "Limitado" no es una propiedad topológica, en el siguiente sentido: examinando la familia de conjuntos abiertos, podemos determinar si un espacio es compacto, y (a veces necesitando algunos resultados bastante profundos) determinar si la topología puede ser generada por una métrica. Pero si un espacio $S$ es metrizable y no compacta, entonces (no "obviamente") existe una métrica no limitada $d$ en S que genera la topología. Pero la métrica $e(x,y)=\min (1,d(x,y))$ está acotado y genera la misma topología. Así que no siempre podemos decir si algún subconjunto de algún $S$ está acotado o no con sólo mirar la topología. Puede depender de la métrica.

(3). Un espacio $S$ es $T_2$ (también conocido como espacio de Hausdorff) cuando los puntos distintos en $S$ tienen vecindades disjuntas. Es decir, si $x,y\in S$ con $x\ne y$ entonces hay conjuntos abiertos disjuntos $U,V$ con $x\in U$ y $y\in V.$

Los espacios métricos son Hausdorff.

Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es necesariamente cerrado.

(Nota sobre la terminología: Un barrio $T$ de un punto $x$ en un espacio $S$ es algo $T\subseteq S$ tal que existe un conjunto abierto $U$ con $x\in U\subseteq T.$ )

(4). Podemos decir que un subconjunto $V$ de un espacio metrizable es compacto si para cualquier secuencia $\sigma=(v_n)_{n\in \Bbb N}$ de los miembros de $V,$ existe $v(\sigma)\in V$ y una subsecuencia $(v_{n_i})_{i\in \Bbb N}$ de $\sigma,$ tal que $0=\lim_{i\to \infty}d(v_{n_i},v(\sigma)) $ para todas y cada una de las métricas $d$ para el espacio. (No hay que pasar por alto la condición de que $v(\sigma)\in V.$ )

En resumen, en un espacio metrizable, la compacidad es equivalente a la compacidad secuencial.

(5). El análisis funcional moderno suele tratar ciertas familias de funciones como conjuntos de puntos en un espacio topológico (convenientemente definido).

Ejemplo:

$C[0,1]$ es el conjunto de continuos $f:[0,1]\to \Bbb R,$ y la norma sup $\|f-g\|=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|$ define una métrica $d(f,g)=\|f-g\|$ en $C[0,1].$ En esta métrica, la convergencia de una secuencia $(f_n)_{n\in \Bbb N}$ a $f$ significa la secuencia $(f_n)_{n\in \Bbb N}$ de funciones converge uniformemente a la función $f$ .

Si $V\subset C[0,1] $ y $V$ tiene un interior no vacío, entonces $V$ no es compacto. Porque, si $f\in V$ y $r>0$ y $\{g: \|g-f\|<r\}\subset V,$ dejar $f_n(x)=f(x)+rx^n/2$ para cada $n\in \Bbb N$ y $x\in [0,1].$ Entonces ninguna subsecuencia de $(f_n)_n$ converge uniformemente a $any $ miembro de $ C[0,1]$ así que $V$ no es secuencialmente compacto, por lo que $V$ no es compacto.

En particular $\{g: \|g\|\le 1\}$ es cerrado y acotado pero no compacto. (Para más información sobre la compacidad de este espacio, consulte el teorema de Arzela-Ascoli o el tema general de los espacios lineales normalizados, también conocidos como espacios vectoriales normalizados). )