calcular explícitamente la expectativa condicional

Question

Considere el espacio de probabilidad $\Omega = (-1,1)$ con el álgebra de Borel-sigma $\mathcal{B}((-1,1))$ con la distribución uniforme $\mathcal{U}((-1,1))$ como medida de probabilidad. Ahora dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias en este espacio con

\begin{equation} X(x) = \max[0,x], Y(x) = x^{2}, ~~x \in(-1,1). \end{equation} Tenemos que calcular $\mathbb{E}(X|Y)$ y $\mathbb{E}(Y|X)$ . No entiendo muy bien el concepto de expectativa condicional. ¿Cómo debo empezar? ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Dejemos que $P$ denotan la medida uniforme. [ $P$ es simplemente la medida de Lebesgue dividida por 2]. $E(X|Y)$ puede expresarse como una función medible de $Y$ , digamos que $f(Y)$ . Tenemos que determinar $f$ de la relación $EXI_{\{Y\leq t\}} =Ef(Y)I_{\{Y\leq t\}}$ para todos $t \in \mathbb R$ . Esto da $\int_0 ^{\sqrt t} x \, dP(x)=\int_{-\sqrt t}^{\sqrt t} f(x^{2}) \, dP(x)=2\int_{0}^{\sqrt t} f(x^{2}) \, dP(x)$ . Poner $u=x^{2}$ en la última integral. obtenemos $\int_{0}^{\sqrt t} f(x^{2}) \, dP(x)=\int_0^{t} f(u) \frac 1 {2\sqrt u}\, dP(u)$ . Así, $\int_0 ^{\sqrt t} x \, dP(x)=2\int_0^{t} f(u) \frac 1 {2\sqrt u}\, dP(u)$ para todos $t$ . Ahora diferencie ambos lados con respecto a $t$ para encontrar $f$ . Usted obtendrá $f(t)=\frac {\sqrt t} 2$ . Por lo tanto, $E(X|Y)=\frac {\sqrt Y} 2$ . Este procedimiento es bastante general y se puede utilizar el mismo método para $E(Y|X)$ .