Modelos de $T_\exists$ son precisamente las estructuras que contienen un modelo de $T$

Question

Un ejercicio habitual en las introducciones a la teoría de modelos es demostrar la siguiente afirmación:

Dejemos que $T$ sea una teoría, y que $T_\forall$ sea el conjunto de todas las sentencias universales que son consecuencia de $T$ . Entonces $\mathbf A$ es un modelo de $T_\forall$ si, y sólo si, existe un modelo $\mathbf B$ de $T$ con $\mathbf A\subseteq \mathbf B$ .

La prueba de este hecho sólo utiliza que la teoría $T\cup \Delta(\mathbf A)$ es consistente, donde $\Delta(\mathbf A)$ es el diagrama atómico de $\mathbf A$ . Ahora me pregunto si la analogía de las consecuencias existenciales es cierta:

Dejemos que $T$ sea una teoría, y que $T_\exists$ sea el conjunto de todas las sentencias existenciales que son consecuencia de $T$ . Entonces $\mathbf A$ es un modelo de $T_\exists$ si, y sólo si, existe un modelo $\mathbf B$ de $T$ con $\mathbf B\subseteq \mathbf A$ .

No tengo pruebas de que esto sea así, aparte de que el $\forall$ - y $\exists$ -Los teoremas de conservación se relacionan de la misma manera que las afirmaciones anteriores, y que los $\forall$ -El teorema de la preservación se puede demostrar utilizando la primera afirmación anterior.

Answer 1

No es cierto.

Considere el lenguaje $L$ con un único predicado binario y un modelo $N$ que es un grafo dirigido infinito con un vértice distinguido $x_0$ y todos los demás vértices conectados con una arista a $x_0$ (y ninguna otra arista).

Es fácil ver que $N$ es $\omega$ -categoría

Ahora, considere $M$ que es la unión disjunta de todos los grafos finitos conectados. Satisface la parte existencial de la teoría de cualquier grafo (porque cualquier afirmación existencial es atestiguada por algún grafo finito) y es contable (sólo hay un número contable de grafos finitos, hasta el isomorfismo), pero no contiene ningún grafo infinito conectado. En particular, no contiene una copia de $N$ .