(Es sobre todo una cuestión de cálculo y tiene poco que ver con la óptica).
Estoy leyendo un libro sobre infografía, Síntesis de imágenes realistas mediante mapeo de fotones de Henrik Wann Jensen, y no puedo entender del todo cómo derivar la ecuación de la radiación que se da en el capítulo 2.
Según el libro, el energía radiante espectral $Q_{\lambda}$ , en $n_{\lambda}$ fotones con longitud de onda $\lambda$ es
$$Q_{\lambda}=n_{\lambda}\frac{h \; c}{\lambda}\;,$$
donde h es la constante de Planck. Por lo tanto,
$$Q=\int_{0}^{\infty}Q_{\lambda}d\lambda\;.$$
Flujo radiante $\Phi$ es la tasa de flujo de energía radiante en el tiempo:
$$\Phi=\frac{dQ}{dt}\;.$$
Y densidad de área del flujo radiante es
$$E(x)=\frac{d\Phi}{dA}\;.$$
El intensidad radiante $I$ es el flujo radiante por unidad de ángulo sólido $d\omega$ :
$$I(\omega)=\frac{d\Phi}{d\omega}\;.$$
Así que el brillo $L$ es el flujo radiante por unidad de ángulo sólido por unidad de área proyectada:
$$L(x,\omega)=\frac{d^{2}\Phi}{\cos\theta\;dA\;d\omega}=\int_{0}^{\infty}\frac{d^{4}n_{\lambda}}{\cos\theta\;d\omega\;dA\;dt\;d\lambda}\;\frac{h\;c}{\lambda}d\lambda$$
Mi pregunta es: ¿Podría alguien explicar cómo derivar la última integral, y por qué no es
$$\int_{0}^{\infty}\frac{d^{3}n_{\lambda}}{\cos\theta\;d\omega\;dA\;dt}\;\frac{h\;c}{\lambda}d\lambda\;?$$
