¿Convergencia en probabilidad uniforme en x- teorema de la cartografía continua?

Question

Supongamos una secuencia de variables aleatorias $X_n \stackrel{\mathbb{P}}\longrightarrow X$ . Entonces el teorema del mapeo continuo nos dice que $g(X_n)\stackrel{\mathbb{P}}\longrightarrow g(X)$ si g es continua.

Ahora, g es una función en dos parámetros, $g(X_n,x)$ con $x\in \mathbb{R}$ . ¿Tengo un stamento como $g(X_n,x)\stackrel{\mathbb{P}}\longrightarrow g(X,x)$ uniformemente con respecto a $x$ si mi función $g$ es continuo en ambos ¿parámetros?

Gracias.

Answer 1

No funciona uniformemente en $x$ . Considere $X_n = \frac{1}{n}$ , $X = 0$ y $g(x, y) = xy$ . Entonces, claramente $\|g(X_n, x) - g(X, x)\|_\infty = \infty$ no converge en probabilidad a $0$ .