Sé que lo que Longitud de Planck es igual a.
La primera pregunta es, ¿cómo se obtiene la fórmula $$\ell_P~=~\sqrt\frac{\hbar G}{c^3}$$ que describe la longitud de Planck?
La segunda pregunta es: ¿será inaccesible cualquier longitud inferior a la de Planck? Si es así, ¿cuál es la razón de ello?
La expresión $(\hbar G/c^3)^{1/2}$ es el único producto de potencias de $\hbar, G,c$ tres constantes dimensionales más universales, que tiene la unidad de longitud. Porque las constantes $\hbar, G,c$ describen los procesos fundamentales de la mecánica cuántica, la gravedad y la relatividad especial, respectivamente, la escala de longitud obtenida de este modo expresa la escala de longitud típica de los procesos que dependen de la gravedad cuántica relativista.
La fórmula y el valor ya eran conocidos por Max Planck hace más de 100 años, por eso se llaman unidades Planck.
A no ser que haya dimensiones extra muy grandes o extrañamente deformadas en nuestro espaciotiempo, la longitud de Planck es la escala de longitud mínima a la que se puede asignar la interpretación física y geométrica habitual. (E incluso si hay sutilezas procedentes de dimensiones extra grandes o deformadas, la escala de longitud mínima que tiene sentido -que podría ser diferente de $10^{-35}$ metros, sin embargo- puede seguir llamándose longitud de Planck de dimensión superior y se calcula mediante fórmulas análogas que, sin embargo, deben utilizar la constante de Newton correspondiente que se aplica a un mundo de dimensión superior). El papel especial de la longitud de Planck puede expresarse mediante muchas definiciones relacionadas, por ejemplo:
La longitud de Planck es el radio del agujero negro más pequeño que obedece (marginalmente) las leyes de la relatividad general. Obsérvese que si el radio del agujero negro es $R=(\hbar G/c^3)^{1/2}$ la masa del agujero negro se obtiene de $R=2GM/c^2$ es decir $M=c^2/G\cdot (\hbar G/c^3)^{1/2} = (\hbar c/G)^{1/2}$ que es lo mismo que la longitud de onda de Compton $\lambda = h/Mc = hG/c^3 (\hbar G/c^3)^{-1/2}$ del mismo objeto, hasta factores numéricos como $2$ y $\pi$ . El tiempo que tarda un agujero negro de este tipo en evaporarse por la radiación de Hawking es también igual al tiempo de Planck, es decir, la longitud de Planck dividida por la velocidad de la luz. Los agujeros negros más pequeños (más ligeros) no se comportan en absoluto como agujeros negros; son partículas elementales (y el tiempo de vida más corto que el tiempo de Planck es una señal de que no se puede confiar en la relatividad general para objetos tan supertintos). Los agujeros negros más grandes que la longitud de Planck se comportan cada vez más como los agujeros negros de larga duración que conocemos por la astrofísica.
La longitud de Planck es la distancia a la que la incertidumbre cuántica de la distancia pasa a ser del orden del 100%, hasta un coeficiente de orden uno. Puede calcularse mediante diversos cálculos aproximados basados en la teoría cuántica de campos: valores de expectativa de $(\delta x)^2$ procedentes de las fluctuaciones cuánticas del tensor métrico; correcciones de derivación superior a la acción de Einstein-Hilbert; fenómenos no locales, etc.
Las correcciones inusuales a la geometría, incluyendo los fenómenos no locales, se vuelven tan fuertes a distancias que son formalmente más cortas que la longitud de Planck que no tiene sentido considerar distancias más cortas. Las reglas habituales de la geometría se romperían allí. La longitud de Planck, más o menos, es también la escala de distancia más corta que se puede sondear con aceleradores, incluso en principio. Si se aumentara la energía de los protones en el LHC y se eligiera un colisionador de radio comparable al del Universo, la longitud de onda de los protones se acortaría de forma inversamente proporcional a la energía de los protones. Sin embargo, una vez que la energía del centro de masa de los protones alcanza la escala de Planck, se empiezan a producir los "agujeros negros mínimos" mencionados anteriormente. Un aumento posterior de la energía acabará con agujeros negros más grandes que tienen una resolución peor, no mejor. Así que la longitud de Planck es la distancia mínima que se puede sondear.
Es importante mencionar que estamos hablando de la arquitectura interna de las partículas y los objetos. Muchas otras cantidades que tienen unidades de longitud pueden ser mucho más cortas que la longitud de Planck. Por ejemplo, la longitud de onda del fotón puede ser, obviamente, arbitrariamente corta: cualquier fotón puede ser siempre potenciado, como garantiza la relatividad especial, de modo que su longitud de onda se acorte aún más.
Se saben muchas cosas (conocimientos de miles de artículos de algunos de los mejores físicos del mundo) sobre la física a escala de Planck, especialmente algunas características cualitativas de la misma, independientemente de la inaccesibilidad experimental de ese ámbito.
Por favor, dé una referencia que corrobore que ''La relatividad general clásica nos permite calcular los límites en los que empieza a romperse incluso en ausencia de cualquier teoría detallada de la gravedad cuántica y la escala es del orden de la escala de Planck''.
¿Según qué teoría establecida y verificada experimentalmente se puede afirmar que ''una vez que la energía del centro de masa de los protones alcanza la escala de Planck, se empiezan a producir los "agujeros negros mínimos" mencionados anteriormente''? ¿Dónde está la prueba de la afirmación de que ''las reglas habituales de la geometría se romperían'' a distancias más cortas que la escala de Planck? ¿Cómo, en ausencia de una teoría consistente de la gravedad cuántica, se puede demostrar que "la longitud de Planck es el radio del agujero negro más pequeño que obedece (marginalmente) las leyes de la relatividad general"?
Estimado Arnold, ¿conforme a qué teoría establecida y verificada experimentalmente se puede afirmar lo que yo hice? La teoría que buscas se conoce como relatividad general. Se puede demostrar que con una concentración suficiente de energía en un volumen pequeño como el que describí, se forman inevitablemente agujeros negros. Esto se conoce desde los teoremas de la singularidad debidos a Penrose y Hawking de los años 70. Además, para radios mayores que la longitud de Planck, se puede demostrar que las correcciones a la RG son pequeñas, por lo que la conclusión no cambia.
Utilizando las constantes físicas fundamentales, intenta construir una expresión que tenga una unidad de longitud.
Así que usando el análisis dimensional, tenemos:
Que vamos a construir la longitud $l = m$ de la siguiente manera: $$l = G^a c^b \hbar^d = m^{3a + b+d} \cdot kg^{-a+d} \cdot s^{-2a-b-d} \equiv m$$ Equivale al siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 3a+b+2d & = 1 \\-a+d & = 0 \\-2a-b-d & = 0 \end{cases}$$ Y la única solución es justo lo que ahora llamamos Longitud de Planck .
La fórmula se obtiene mediante un análisis dimensional. Hasta un factor adimensional constante, la expresión dada es la única de dimensión longitudinal que se puede hacer de las constantes fundamentales $\hbar$ , $c$ et $G$ .
Las discusiones sobre el significado físico de la longitud de Planck no tienen ningún apoyo experimental (y muy poco teórico), por lo que tu segunda pregunta no puede ser respondida (salvo de forma especulativa).
Tengo que estar de acuerdo con Lubos (salvo la excepción que hace con respecto a los fotones, ya que la SR es la herramienta equivocada y la RG tampoco deja destacar a los fotones) en que está teóricamente muy bien establecido que la escala de Planck establece un punto más allá del cual debería producirse una nueva física y la teoría de cuerdas da una posible forma que podría adoptar esta nueva física.
Olvidando las cuerdas, aparte de los argumentos de los agujeros negros, se puede apelar al marco moderno de la RG para afirmar que cualquier teoría de campo renormalizable pero no asintóticamente libre a bajas energías (como el Modelo Estándar) señala la existencia de una escala UV más allá de la cual una nueva teoría de campo debe ser sustituida. La escala de Planck es la única escala relevante que conocemos que podría ser la candidata para un qft gravitacional. Mira el artículo de Delamotte "A hint of renormalization" para una clara descripción de este punto.
Para mí está claro que si sólo hay un número finito de escalas (de longitud) en la teoría, se puede esperar que ocurra algo en las consideraciones de la teoría de campos con respecto a esa unidad (digamos la escala de Planck aquí $\ell_P$ ). Sin embargo, lo que hace $\ell_P$ más fundamental que $2\ell_P$ ¿Cómo se puede llegar a la conclusión de que un valor numérico concreto tiene algún significado sin una buena teoría a ese nivel?
Sólo basándome en consideraciones generales, la transición ni siquiera tiene que ser brusca, supongo (será brusca sólo si se rompe espontáneamente alguna simetría y desconozco si debe ser así o no para que aparezca una teoría de baja energía renormalizable). Así que estoy de acuerdo contigo, no hay nada tan especial en la longitud de Planck antes de considerar una QG consistente específica.
Esto es una respuesta a la parte de la pregunta sobre por qué las escalas más pequeñas son inaccesibles.
Los físicos de partículas se dedican a medir cosas a distancias muy pequeñas. Para ello, tienen que utilizar partículas con longitudes de onda comparables a la escala de distancia que intentan sondear, y tienen que hacer colisionar esas partículas con la cosa que intentan sondear.
Sin embargo, algo va mal si sigues tratando de hacer la longitud de onda $\lambda$ cada vez más corto. Aunque la aceleración de una partícula a velocidad ultrarelativista no la convierte en un agujero negro (después de todo, en su propio marco está en reposo), la colisión con el objeto sondeado puede crear un agujero negro, y lo hará, a grandes rasgos, si la energía $E$ equivale a un $mc^2$ para el que el radio de Schwarzschild $2Gm/c^2$ es menor que el $\lambda\sim hc/E$ . (Esto no es riguroso, ya que en realidad lo que importa es el tensor tensión-energía, no la energía, pero es suficiente para una estimación de orden de magnitud). Resolviendo para $\lambda$ obtenemos algo del orden de la longitud de Planck.
Si haces la longitud de onda más corta que la longitud de Planck, estás haciendo la energía más alta. La colisión produce entonces un agujero negro más grande, lo que significa que no estás sondeando escalas más pequeñas, sino más grandes.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
6 votos
¡Hola usuario2346! Para futuras referencias, preferimos que hagas cada pregunta por separado en un post distinto.