Demostrar que el límite no existe

Question

Tengo que demostrar que

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(x+y)^3}{(\sqrt{x^2-y^2})^2}$$ no existe.

Creo que he intentado todas las formas posibles para demostrar que no existe $(x=0;y=0; x=my; x=my^2;...)$ pero nada funciona. Obtengo 0 cada vez.

¿Alguien tiene alguna sugerencia? Gracias

Answer 1

Lo que se puede hacer es encontrar el límite a lo largo de un camino $y = x\gamma(x)$ . Usando eso la expresión se convierte en:

$${(x+y)^3\over\left(\sqrt{x^2-y^2}\right)} ={(x+x\gamma(x))^3\over\left(\sqrt{x^2-x^2\gamma(x)^2}\right)^2} = {x^3(1+\gamma(x))^3\over x^2(1-\gamma(x)^2)} = {x (1+\gamma(x))^2\over 1-\gamma(x)}$$

Ahora bien, si seleccionamos $\gamma(x)$ tal que $1-\gamma(x) = x/C$ (es decir $\gamma(x) = 1-x/C$ ) obtenemos

$${(x+y)^3\over\left(\sqrt{x^2-y^2}\right)^2}={x(1+1-x/C)^2\over 1-(1-x/C)} = {x(2-x/C)^2\over x/C}=C(2-x/C)^2 \to 4C$$

Ahora hemos construido trayectorias al origen con un límite arbitrario, pero para que el límite exista el límite de la trayectoria debe ser independiente de la trayectoria que elegimos.