Teorema espectral sobre $\mathbb {R}$

Question

Para mí está claro que un mapa lineal autoadjunto en un espacio de producto interno real/complejo tiene valores propios reales, y sus espacios propios para valores propios distintos son ortogonales.

Para demostrar que es diagonalizable, necesitamos también que la multiplicidad geométrica de los eigenspaces sea igual a la multiplicidad algebraica. ¿Cómo se consigue esto?

En particular, si los argumentos difieren, ¿cómo se demuestra esto sobre $\mathbb{R}$ ? He visto pruebas sobre $\mathbb {C}$ y utilizan el cierre algebraico, así que imagino que el caso real es más complicado, y me gustaría ver una prueba que funcione aquí.

Answer 1

Por inducción. Sea $T$ sea un endomorfismo real autoadjunto de un IPS real, $V$ . Dejemos que $\lambda$ sea un valor propio de $T$ desde $T$ es autoadjunto, $T$ tiene un valor propio real. Entonces, por definición, hay un $\lambda$ -vector propio $v$ para $T$ . Sea $V'=\{v\}^\perp$ . Entonces, como $T$ es autoadjunto, si $w\in V'$ entonces $\langle Tw,v\rangle = \langle w,Tv\rangle=\langle w,\lambda v\rangle= 0$ . Así, $V'$ es $T$ -invariante. Por lo tanto, $V$ se divide como una suma directa $\Bbb{R}v\oplus V'$ y $T$ se divide con él como $T=\lambda \oplus T|_{V'}$ . Entonces, por inducción $T|_{V'}$ tiene una base ortonormal de vectores propios, y junto con $v$ , estos dan una base ortonormal para $V$ formado por los vectores propios de $T$ .

Este argumento no depende de que el campo base sea $\Bbb{R}$ o $\Bbb{C}$ pero supuse que era $\Bbb{R}$ para que la escritura sea más sencilla.