Métricas equivalentes al metro euclidiano

Question

Quiero mostrar dos métricas siguientes en $\mathbb{R}$ son equivalentes:

$d_1(x,y) = | x - y |$
$d_2 (x,y) = | e^x - e^y| $

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Líneas maestras de la prueba

El mapa $f : x \mapsto e^x$ es continuamente diferenciable de $\mathbb R$ en $(0,\infty)$ . También es estrictamente creciente. Por lo tanto, es una biyección.

Utilizando el teorema del valor medio para $f$ y el mapa inverso (es decir $\ln$ ), obtenemos que para cualquier intervalo finito $I \subseteq \mathbb R$ existe $k,K >0$ tal que

$$kd_2(x,y) \le d_1(x,y) \le K d_2(x,y)$$ para $x,y \in I$ . Esto implica que las dos métricas son equivalentes.

Answer 2

Bueno, dejemos $B(a,r) = \{x\in \mathbb R| |x-a|< r\} = (a-r, a+r)$ .

Dejemos que $E(a,s) = \{x\in \mathbb R| |e^x-e^a| < s\}=\{x| e^a-s < e^x<e^a+s\}=\{x|\log(e^a-s)< x < \log(e^a+s)\}=(\log(e^a-s), \log(e^a+s))$

.....

Fijar $r$ .

Dejemos que $t= e^a-e^{a-r}$ así que $e^a-t=e^{a-r}$ y $\log(e^a-t)=a-r$ .

Dejemos que $t' = e^{a+r} - e^a$ así que $\log(e^a+t)=a+r$ .

Dejemos que $s'=\min(t,t')$ así que $E(a,s')=(\log(e^a-s), \log(e^a+s'))\subset (\log(e^a-t),\log(a^a + t') =(a-r,a+r) =B(a,r)$ .

.......

Igualmente, arreglar $s$ .

Dejemos que $r' = \min(a-\log(e^a-s), \log(e^a+s)-a)$ .

Así que $B(a,r')=(a-r', a+r')\subset (\log(e^a-s),\log(e^a+s)) = E(a,s)$ .

......

Y esa es la definición de equivalencia.