Semidefinición positiva de una matriz que comprende matrices en bloque de forma especial

Question

Me interesa caracterizar la semidefinición positiva de una matriz de la forma

(A B C; D E F; H I G), donde cada uno de los bloques A..G es una matriz 3X3 cuyos componentes son los mismos, por ejemplo, A=(a a a; a a a; a a a), B=(b b b; b b b; b b b;), etc. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo explotar esta forma para caracterizar la PSD?

Gracias,

Gal

Answer 1

La matriz en cuestión puede escribirse como $$ \pmatrix{a&b&c\\d&e&f\\g&h&i}\otimes \pmatrix{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}=:M\otimes E, $$ donde $\otimes$ denota el producto de Kronecker. Existe un cierto vínculo entre los valores propios del producto de Kronecker y sus argumentos que establece que los valores propios de $M\otimes E$ son los productos de los valores propios de $M$ y $E$ . En consecuencia, $M\otimes E$ tiene valores propios no negativos si y sólo si $M$ lo hace (porque los valores propios de $E$ son simples $3$ y $0$ con multiplicidad $2$ ).