Demuestre que la convergencia uniforme de $f_n(x)=x-\frac{x^n}{n}$ en $0 \leq x \leq 1$ ?

Question

Demuestre que la siguiente secuencia de $f_n(x)$ converge uniformemente en el intervalo $[0,1]$

Mi trabajo:

$$f_n(x)=x-\frac{x^n}{n}$$

$$f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}x-\frac{x^n}{n}$$

La secuencia converge para $|x|<1$

$$\lim_{n\rightarrow \infty} x-\frac{x^n}{n}=x-0$$

$$f(x)=x$$

$$|x-\frac{x^n}{n}-x|< \epsilon$$

$$\frac{x^n}{n}< \epsilon$$

¿Esta pregunta necesita la función de Lambert?

No estoy seguro de cómo proceder... Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Dado $\epsilon > 0$ , elija un número entero positivo $N > \frac{1}{\epsilon}$ . Para todos los $n > N$ y $x\in [0,1]$ , $$\left\lvert\left(x - \frac{x^n}{n}\right) - x\right\rvert = \frac{x^n}{n} \le \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \epsilon$$

Así, $f_n(x)$ converge uniformemente a $x$ en $[0,1]$ .

Answer 2

Desde $\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}n=0$ si su secuencia converge uniformemente a alguna función, entonces esa función debe ser $f(x)=x$ . Pero $$f_n(x)-f(x)=-\frac{x^n}n$$ y $(\forall x\in[0,1]):f_n(x)-f(x)\in\left[-\frac1n,0\right]$ . Por lo tanto, $(\forall x\in[0,1]):\left|f_n(x)-f(x)\right|\leqslant\frac1n$ y, como $\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$ la secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ converge uniformemente a $f$ .