Morfismo constante de $\mathbb{P}^m_k$ a $\mathbb{P}^n_k$ como esquemas

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y $m>n \in \mathbb{N}$ . Entonces cualquier morfismo de esquemas $\mathbb{P}^m_k \rightarrow \mathbb{P}^n_k$ es constante.

Lo que sé es que todo morfismo de un esquema $X$ a $\mathbb{P}^n_k$ corresponde $1:1$ a las clases de isomorfismo de las láminas invertibles $\mathcal{L}$ en $X$ y generando secciones $s_0,...,s_n \in \Gamma(X,\mathcal{L})$ .

Lo que estoy pensando es también que $\mathbb{P}^m_k$ no puede ser generado por $n+1$ secciones.

Answer 1

Has omitido una parte muy importante de la definición de haz de líneas $\mathcal{L}$ y secciones $s_0,\cdots,s_n$ definiendo un morfismo $X\to \Bbb P^n$ : las secciones $s_0,\cdots, s_n$ no puede tener ningún cero común. Esto será importante para llegar a una contradicción más adelante.

Por la clasificación de los haces de líneas en el espacio proyectivo, $\mathcal{L}\cong \mathcal{O} _{\Bbb P^m}(d)$ para algún número entero $d$ . Si $d<0$ entonces $\mathcal{L}$ no tiene secciones globales y no define un morfismo hacia $\Bbb P^n$ en absoluto. Si $d=0$ , entonces sólo tiene las secciones globales constantes y debe definir un morfismo constante. Por lo tanto, si $\mathcal{L}$ y una selección de secciones $s_0,\cdots,s_n$ eran para definir un mapa no constante, $d$ debe ser al menos uno.

Sabemos que las secciones globales de $\mathcal{O}_{\Bbb P^m}(d)$ son los polinomios homogéneos de grado $d$ en $m+1$ variables. Ahora mostramos que para cualquier elección de $n+1$ polinomios homogéneos de grado positivo en $m+1$ variables, deben tener un cero común, lo que será una contradicción. Por teoría de la dimensión, el subesquema de $\Bbb P^m$ recortada por el lugar cero de la $n+1$ polinomios homogéneos tiene dimensión al menos $m-(n+1)$ y es no vacío si esta cantidad es no negativa. Pero como $m>n$ debe ser el caso que $m-(n+1) \geq 0$ por lo que este lugar es no vacío, lo cual es una contradicción.