Hablemos también un poco de las "acciones de grupo".
Dado un grupo $G$ y un conjunto no vacío $X$ , a (izquierda) acción de grupo de $G$ en $X$ significa una operación $\cdot\colon G\times X\to X$ tal que para todo $g,h\in G$ y $x\in X$ , $$\begin{align*} h\cdot(g\cdot x) &= (hg)\cdot x;\\ 1\cdot x &= x, \end{align*}$$ Un ejemplo fácil de una acción de grupo es el siguiente: Sea $X$ sea un conjunto no vacío, y que $S_X$ sea el grupo de todas las biyecciones de $X$ a sí mismo (las "permutaciones en $X$ "). Entonces podemos definir una acción de $S_X$ en $X$ por $\sigma\cdot x = \sigma(x)$ .
Del mismo modo, si $H\lt S_X$ entonces $H$ actúa sobre $X$ de forma natural, dejando que $h\cdot x = h(x)$ por cada $h\in H$ .
Otro ejemplo: supongamos que $G$ actúa sobre $X$ y $H$ actúa sobre $Y$ . Entonces podemos dejar que $G\times H$ actuar $X\times Y$ de una manera obvia (por coordenadas): dado $(g,h)\in G\times H$ y $(x,y)\in X\times Y$ , dejemos que $(g,h)\cdot(x,y) = (g\cdot x,h\cdot y)$ .
Otro ejemplo más: Si $G$ actúa tanto en $X$ y $Y$ entonces $G$ actúa sobre $X\times Y$ "coordinadamente" también: $g\cdot (x_1,x_2) = (g\cdot x_1,g\cdot x_2)$ . En general, si $G$ actúa sobre cada conjunto de una familia $\{X_i\}_{i\in I}$ entonces $G$ actúa sobre el producto cartesiano $\prod\limits_{i\in I}X_i$ por coordenadas.
Otro ejemplo: supongamos que $G$ actúa sobre $X$ y $\iota\colon X\hookrightarrow Y$ es una función unívoca de $X$ a otro conjunto $Y$ . Entonces podemos definir una acción de $G$ en $Y$ por "extensión" como sigue: dado cualquier $g\in G$ y cualquier $y\in Y$ definimos $g\cdot y$ por: $$g\cdot y = \left\{ \begin{array}{ll} \iota(g\cdot x)&\mbox{if $y=\iota(x)$;}\\ y &\mbox{if $y\notin\iota(X)$.} \end{array}\right.$$
Otro ejemplo: Dejemos que $G$ actuar $X$ . Decimos que un subconjunto $Y\subseteq X$ es $G$ - invariante si y sólo si $G\cdot Y = \{g\cdot y\mid y\in Y\}\subseteq Y$ . Entonces la restricción de la $G$ -acción para $Y$ nos da una acción de $G$ en $Y$ .
Otro ejemplo: supongamos que $G$ actúa sobre $X$ y $f\colon K\to G$ es un homomorfismo. Entonces $K$ actúa sobre $X$ " a través de $f$ ", dejando que $k\cdot x = f(k)\cdot x$ .
En cierto sentido, toda acción puede considerarse como una acción de esta manera, en el siguiente sentido:
Teorema. Dejemos que $G$ sea un grupo, y $X$ sea un conjunto. Entonces los siguientes datos son equivalentes:
- Una acción de la izquierda de $G$ en $X$ , $\cdot\colon G\times X\to X$ .
- Un homomorfismo de grupo $\phi\colon G\to S_X$ de $G$ al grupo de permutación de $X$ .
Prueba. Supongamos que $\cdot\colon G\times X\to X$ es una acción de grupo. Para cada $g\in G$ , dejemos que $\phi_g\colon X\to X$ sea el mapa $\cdot(g,-)\colon X\to X$ (currying $\cdot$ ) definida por $\phi_g\colon x\mapsto g\cdot x$ . Se trata de una biyección, porque $\phi_{g^{-1}}$ es su inversa: $$\begin{align*} \phi_{g^{-1}}\circ\phi_g(x) &= g^{-1}\cdot(g\cdot x) = (g^{-1}g)\cdot x = 1\cdot x = x,\\ \phi_g\circ\phi_{g^{-1}}(x) &= g\cdot(g^{-1}\cdot x) = (gg^{-1})\cdot x = 1\cdot x= x.\end{align*}$$ Es decir, el mapa $g\longmapsto \phi_g$ es una función de $G$ a $S_X$ . Morover, $\phi_g\circ\phi_h = \phi_{gh}$ ya que $g\cdot(h\cdot x) = (gh)\cdot x$ por lo que el mapa es un homomorfismo. Por lo tanto, una acción de $G$ en $X$ produce un homomorfismo $\phi\colon G\to S_X$ por $\phi(g) = \phi_g$ .
A la inversa, supongamos que $\phi\colon G\to S_X$ es un homomorfismo de grupo. Esto induce una acción de $G$ en $X$ por $g\cdot x = \phi(g)(x)$ como en el caso anterior.
Además, dejemos que $\psi\colon G\to S_X$ sea un homomorfismo, y que $\cdot_{\psi}$ sea la acción inducida. Entonces $\phi_g(x) = g\cdot_{\psi}(x) = \psi(g)(x)$ por lo que el homomorfismo que obtenemos de la acción inducida por $\psi$ es $\psi$ . Asimismo, si se comienza con una acción $\cdot$ y dejamos que $\phi\colon G\to S_X$ sea el homomorfismo inducido como el anterior, entonces la acción $\cdot_{\phi}$ inducido por este homomorfismo es $g\cdot_{\phi}x = \phi_g(x) = g\cdot x$ así que recuperamos nuestra acción original. Es decir, los datos son equivalentes. QED
Otra forma de definir las acciones es por restricción: supongamos que $G$ actúa sobre un conjunto $X$ ; dado $x\in X$ El órbita de $x$ es el conjunto $$G\cdot x = \{ g\cdot x\mid g\in G\}.$$ Entonces $G$ actúa sobre $G\cdot x$ de forma natural: pensamos en ello como una *restricción* de la acción de $G$ de considerar lo que hace a todos los $X$ a considerar lo que hace a $G\cdot x$ .
Una acción de $G$ en $X$ induce una relación de equivalencia en $X$ por $x\sim y$ si y sólo si existe $g\in G$ tal que $g\cdot x = y$ ; de forma equivalente, si y sólo si $y$ está en la órbita de $x$ . Esta relación de equivalencia divide $X$ en " $G$ -orbits".
Dos propiedades importantes de una acción son fidelidad y transitividad :
Definición. Dejemos que $G$ actuar $X$ . La acción de $G$ es fiel si $$g\cdot x = x\text{ for all }x\in X\Longleftrightarrow g=1.$$ Equivalentemente, si y sólo si el homomorfismo $G\to S_X$ inducido por la acción es uno a uno.
Definición. Dejemos que $G$ actuar $X$ . La acción de $G$ es transitivo si para cada $x,y\in G$ existe $g\in G$ tal que $g\cdot x = y$ . De forma equivalente, si y sólo si $X$ consiste en un único $G$ -órbita.
Para ver un ejemplo de una acción que no es transitiva, veamos $G=S_3$ y que $G$ actuar en el plató $\{1,2,3,4,5,6\}$ como sigue: dado $\sigma\in S_3$ , dejemos que $\sigma\cdot i = \sigma(i)$ si $1\leq i\leq 3$ y que $\sigma\cdot j = 3+\sigma(j-3)$ si $4\leq j\leq 6$ . Por ejemplo, si $\sigma=(1,3)$ entonces $$\sigma(1)=3,\quad \sigma(2)=2,\quad \sigma(3)=1,\quad \sigma(4)=6,\quad \sigma(5)=5,\quad \sigma(6)=4.$$ La acción no es transitiva porque $X$ tiene dos $G$ -Objetivos: $\{1,2,3\}$ y $\{4,5,6\}$ .
Para un ejemplo más interesante, veamos $X=\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2$ sea el Klein $4$ -y que $G=\mathrm{Aut}(C_2\times C_2)$ . Entonces $G$ actúa sobre $X$ de la manera obvia (aplicar el homomorfismo). Si $x=(0,0)$ , entonces para cada $\phi\in G$ tenemos $\phi(x)=x$ (ya que los automorfismos de grupo deben enviar la identidad a la identidad). Por otro lado, tenemos un automorfismo que intercambia $(1,0)$ y $(0,1)$ y arreglos $(1,1)$ ; un automorfismo que intercambia $(1,0)$ y $(1,1)$ y arreglos $(0,1)$ y un automorfismo que intercambia $(0,1)$ y $(1,1)$ y arreglos $(1,0)$ . De modo que por cada $x\in X$ , $x\neq (0,0)$ y cada $y\in X$ , $y\neq (0,0)$ existe $g\in G$ tal que $g\cdot x = y$ . Es decir, $X$ se divide en dos $G$ -Objetivos, $\{(0,0)\}$ y $\{(1,0), (0,1), (1,1)\}$ .
Así que ya ves por qué, en tu pregunta, decir que el grupo "permuta las raíces" no es lo mismo que decir que para dos raíces cualesquiera hay un elemento del grupo que mapea la primera raíz a la segunda. La primera afirmación está diciendo que hay una acción de $G$ en el conjunto de raíces; la segunda afirmación está diciendo que la acción es transitivo y no todas las acciones son transitivas.
Ahora, supongamos que $G$ actúa en un campo $F$ la acción puede no tener absolutamente nada que ver con la estructura del campo de $F$ (puede ser simplemente una acción sobre el conjunto subyacente de $F$ ), pero este tipo de acciones no son muy interesantes cuando se piensa en $F$ como campo. En cambio, si quieres pensar en $F$ como un campo, entonces se quiere pensar en la acción de $G$ como una acción "por automorfismos"; es decir, identificamos $G$ con un subgrupo del grupo $\mathrm{Aut}(F)$ de todos los automorfismos de campo de $F$ que a su vez es un subgrupo del grupo $S_F$ de todas las permutaciones en el conjunto subyacente de $F$ .
Supongamos ahora que $G$ actos en el campo $F$ . Entonces la acción de $G$ en $F$ induce naturalmente una acción de $G$ en $F[x]$ los polinomios con coeficientes en $F$ : recordemos que podemos pensar en polinomios con coeficientes en $F$ como las secuencias casi nulas de elementos de $F$ es decir, las infinitas tuplas $(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots)$ con $a_i\in F$ y $a_i=0$ para casi todos los $i$ la acción de $G$ en $F[x]$ se define por coordenadas, como antes.
Pero si la acción de $G$ en $F$ es por automorfismos de campo, entonces obtenemos más: la acción de $G$ ¡conmuta con el homomorfismo de evaluación! Recuerda que para siempre $a\in F$ tenemos un "evaluar en $a$ " homomorfismo $\varepsilon_a\colon F[x]\to F$ por $\varepsilon_a(p(x)) = p(a)$ . Si la acción de $G$ es por automorfismos de campo, entonces para cada $$p(x) = \alpha_nx^n + \cdots +\alpha_0\in F[x]$$ y para cada $a\in F$ y denotamos por $\phi_g$ el automorfismo correspondiente a la acción de $g\in G$ tenemos: $$\begin{align*} g\cdot\Bigl(\varepsilon_a\bigl(p(x)\bigr)\Bigr) &= g\cdot\Bigl(p(a)\Bigr)\\ &= g\cdot\Bigl( \alpha_na^n + \cdots + \alpha_0\Bigr)\\ &= \phi_g\Bigl( \alpha_na^n + \cdots + \alpha_0\Bigr)\\ &= \phi_g(\alpha_n)\phi_g(a)^n + \cdots + \phi_g(\alpha_0)\\ &= (g\cdot p)(g\cdot a)\\ &= \varepsilon_{g\cdot a}\circ(g\cdot p(x)) \end{align*}$$ donde $g\cdot p$ es la imagen de $p(x)$ bajo la acción de $g$ a saber, $$g\cdot p = (g\cdot \alpha_n)x^n + \cdots + (g\cdot \alpha_0).$$
Porque cualquier automorfismo de un campo debe enviar $0$ a $0$ tenemos:
Teorema. Dejemos que $F$ sea un campo, y que $G$ actuar $F$ por automorfismos. Entonces para cada $p(x)\in F[x]$ Cada $a\in F$ y cada $g\in G$ , $a$ es una raíz de $p(x)$ si y sólo si $g\cdot a$ es una raíz de $g\cdot p(x)$ .
Prueba. $a$ es una raíz de $p(x)$ si y sólo si $p(x)$ se encuentra en el núcleo del mapa de evaluación $\varepsilon_a$ si y sólo si $\varepsilon_a(p(x))=0$ si y sólo si $g\cdot\varepsilon_a(p(x)) = g\cdot 0 = 0$ si y sólo si $\varepsilon_{g\cdot a}(g\cdot p(x)) = 0$ que se cumple si y sólo si $g\cdot a$ es una raíz de $g\cdot p(x)$ . QED
En particular, si $g\cdot p(x) = p(x)$ (es decir, si $g$ fija los coeficientes; tenga en cuenta que incluso con una acción fiel puede tener $g\cdot a = a$ para algunos $g\in G$ y algunos $a\in X$ ), entonces $a$ es una raíz de $p(x)$ si y sólo si $g\cdot a$ es una raíz de $p(x)$ . Es decir, las raíces de $p(x)$ son un $G$ -subconjunto invariable de $F$ y, por tanto, la acción de $G$ en $F$ se limita a una acción de $G$ en las raíces de $p(x)$ .
A la inversa, que la acción de $G$ en $F$ es por automorfismos, que $p(x)$ es un polinomio con coeficientes en $F$ que se divide en $F$ y que el conjunto de raíces de $p(x)$ es un $G$ -subconjunto invariable de $F$ . Dado que los coeficientes de $p(x)$ son polinomios simétricos en las raíces de $p(x)$ y los polinomios simétricos son invariantes bajo cualquier permutación de los argumentos, entonces se deduce que $G$ fija cada coeficiente de $p(x)$ .
Sin embargo, incluso en esta situación la acción de $G$ sobre el conjunto de raíces no tiene por qué ser transitiva. Por ejemplo, consideremos el caso de los números complejos, $F=\mathbb{C}$ y que $G$ sea el grupo formado por la identidad y la conjugación compleja (así $G$ es isomorfo al grupo cíclico de orden $2$ ). Si $p(x)$ es un polinomio con coeficientes reales, entonces el conjunto de raíces de $p(x)$ es $G$ -(ya que un número complejo es una raíz de un polinomio real si y sólo si su conjugado complejo es también una raíz), por lo que la acción de $G$ induce una acción sobre las raíces de $p(x)$ . Si $p(x) = (x^2+1)(x^2+4)(x^2-1)$ por ejemplo, entonces $G$ actúa sobre el conjunto de raíces de $p(x)$ , $X=\{1,-1,i,-i, 2i, -2i\}$ La identidad fija cada elemento, y la conjugación compleja fija $1$ y $-1$ , intercambios $i$ y $-i$ y los intercambios $2i$ y $-2i$ La $G$ -orbitas de $X$ son $\{1\}$ , $\{-1\}$ , $\{i,-i\}$ y $\{2i,-2i\}$ . La acción no es transitiva.
Sin embargo, la situación que suele plantearse en la Teoría de Galois es aún más restringida. Allí solemos considerar no un campo, sino un par de campos en una extensión de campo, $F\subseteq K$ . El grupo cuya acción estamos considerando es un grupo de automorfismos de $K$ pero no cualquier automorfismo, sino automorfismos que fijar $F$ punto de vista es decir, para cada $g\in G$ , $g$ actúa sobre $K$ por automorfismos de tal manera que $g\cdot f = f$ por cada $f\in F$ . En esa situación, cualquier polinomio $p(x)$ con coeficientes en $F$ se fijará por la acción (inducida) de $G$ . En particular, el conjunto de raíces de $p(x)$ que están en $K$ es $G$ -invariante, y por lo tanto $G$ actúa sobre el conjunto de raíces de $p(x)$ que están en $K$ la acción es necesariamente "por permutaciones", ya que toda acción funciona mediante permutaciones.
Por el contrario, si tiene un finito $G$ -subconjunto invariable $S$ de $K$ entonces el polinomio $$p(x) = \prod_{s\in S}(x-s)$$ se fija por la acción de $G$ para que los coeficientes se encuentren en el "campo fijo de $G$ ", que es el conjunto de todos los $k\in K$ tal que $g\cdot k = k$ para todos $g\in G$ . Cuando la extensión es una extensión de Galois, y $G$ es la colección de todo automorfismos de $K$ que arreglar $F$ puntualmente, entonces el campo fijo de $G$ es precisamente $F$ (de hecho, esa es una posible definición de "la extensión es una extensión de Galois"), por lo que el polinomio $p(x)$ anterior debe tener coeficientes en $F$ .
Siempre, si la acción de $G$ en $K$ es "por automorfismos", entonces se tiene necesariamente $g\cdot(a+b) = g\cdot a + g\cdot b$ y $g\cdot(ab) = (g\cdot a)(g\cdot b)$ . Sin embargo, si la acción no es "por automorfismos", entonces generalmente no se puede decir eso.
