¿Las matrices idempotentes son siempre diagonalizables?

Question

¿Cómo demostrar que cualquier matriz idempotente es diagonalizable?

Answer 1

Esto es muy sencillo. Para cada vector$v$, uno tiene$A^2v=Av$, por lo que$Av$ está en el espacio propio para$\lambda=1$. También$A(v-Av)=0$, por lo que$v-Av$ está en el espacio propio para$\lambda=0$. (Defina el espacio propio para$~\lambda$ como$\ker(A-\lambda I)$, incluso en el caso de que$\lambda$ no tenga valor propio.) Por tanto,$v=Av+(v-Av)$ está en la suma de esos dos espacios propios; dado que$v$ fue arbitrario, esa suma es el espacio completo. Esto significa que$A$ es diagonalizable (solo valores propios$0,1$).