Comprender las representaciones inducidas

Question

Sea $G$ sea un grupo y $H$ sea un subgrupo. Sea $\phi:H\rightarrow GL(V)$ sea una representación de $H$ . Hay tres construcciones en Wikipedia pero no me convencen mucho.

Mi pregunta es: ¿existen buenas formas intuitivas de entender la representación inducida $Ind_H^G(\phi)$ ?

Answer 1

Supongamos que tiene una representación $V$ del subgrupo $H< G$ y desea construir la representación "más libre" de $G$ que se limitaría a la representación dada de $H$ . La forma de hacerlo es permitir la multiplicación formal de los vectores en $V$ por elementos de $G$ con la única condición de que las expresiones que incluyan elementos de $H$ puede simplificarse invocando su conocida acción lineal sobre $V$ .

Esta idea de libertad en las construcciones es muy general, y también puede ser muy concreta (en lugar de implicar propiedades universales abstractas de la teoría de categorías): si se tiene una estructura algebraica y se desea ampliarla, basta con añadir un símbolo al conjunto subyacente y, a continuación, incluir en la mezcla todas las expresiones que puedan construirse a partir de la estructura original y ese nuevo símbolo.

Por ejemplo, si tiene un anillo $R$ se puede crear el anillo polinómico $R[x]$ en el símbolo $x$ sumando todas las potencias de $x$ a $R$ y luego permitir combinaciones lineales. Esto es suficiente: por la propiedad distributiva, el producto de dos polinomios volverá a ser un polinomio, por lo que no se necesita nada más allá de estos polinomios para hacer un anillo con anillo subyacente $R$ y elemento $x$ no satisfacen ninguna relación especial (excepto $x$ conmutativo con todo, aunque también existe una construcción de anillo polinómico no conmutativo, denotado $R\langle x\rangle$ ).

Otro ejemplo: el grupo libre generado por un conjunto. Si se permiten todas las "palabras" que incluyan los símbolos del conjunto, así como sus inversos formales, se obtiene automáticamente un grupo; si no se permite que satisfagan ninguna relación (es decir, que dos palabras distintas sean iguales como elementos del grupo), tenemos una construcción libre. Del mismo modo, para hacer el producto libre $G\star H$ de los grupos $G$ y $H$ permitimos que la multiplicación formal se realice por elementos de $G$ y $H$ juntos, y las únicas "simplificaciones" que se producen son cuando dos elementos de $G$ o dos elementos en $H$ en cuyo caso permitimos que la multiplicación se realice como se haría en $G$ o $H$ originalmente. (También $1_G=1_H$ .)

Para crear los elementos formales $gv$ para $g\in G$ y $v\in V$ tendremos automáticamente el espacio vectorial

$$\bigoplus_{g\in G}gV$$

donde $gV$ contiene todos los símbolos $gv$ para $v\in V$ y $g$ dado. Es fácil ver cómo $G$ necesita actuar en este espacio para que las cosas funcionen: $a(bv)=(ab)v$ . Sumas como $gv+gw$ se simplificará como $g(v+w)$ pero expresiones como $av+bw$ no se simplificará si $a\ne b$ en $G$ . Estas relaciones son necesarias para que se trate de una acción lineal de $G$ . Pero debemos imponer relaciones adicionales para mantener la acción original de $H$ en $V$ Para ello, dejemos que $\rho:H\to GL(V)$ sea nuestra representación, y cociente de la suma directa anterior por el subespacio abarcado por vectores de la forma $ghv-g(\rho(h)v)$ para todos $g\in G$ , $h\in H$ , $v\in V$ . Este subespacio es $G$ -y por tanto el cociente tiene sentido como representación.

Observación . Las cosas se complican cuando $[G:H]$ es infinita: tenemos que reinterpretar estos vectores formales como funciones $G\to V$ (es una forma de hacer "tuplas infinitas" indexadas por elementos de $G$ ) y, a continuación, examinar el subespacio de funciones que satisfacen determinadas relaciones. Dependiendo de si especificamos o no que estas funciones tienen soporte finito, habremos hecho inducción o coinducción .

Answer 2

En $[G:H]$ es finita, se puede pensar en ella como si se tomara la suma directa de $[G:H]$ copias de $\phi$ indexados por los elementos de $G/H$ . (Tenga en cuenta que si $H$ no es normal, no será un grupo, pero aún podemos definirlo como el conjunto de cosets izquierdos de $H$ y $G$ seguirá actuando sobre él). Un elemento de $G$ actúa sobre este espacio (1) permutando los sumandos, a través de su acción sobre $G/H$ y (2) actuando dentro de cada sumando, mediante $\phi$ .

Luego está la cuestión de por qué querrías hacerlo. Bueno, es una forma natural de extender representaciones de un subgrupo a representaciones de todo el grupo. De hecho, es adjunto izquierdo al functor de restricción de $G$ -repite $H$ -reps, así que si estás de acuerdo en que la restricción es la forma correcta de reducir las representaciones (y tienes una mentalidad categórica), deberías estar de acuerdo en que la inducción es la forma correcta de hacerlas crecer.

Esta es mi intuición sobre la representación inducida, pero no es toda la historia. Para saber cómo se hace (2), hay que entrar en detalles técnicos. Para mí, la forma más clara de hacerlo (suponiendo ahora que $G$ finito) es el método "algebraico" de la página de Wikipedia que has enlazado. Es decir, en lugar de indexar los sumandos por los cosets izquierdos de $H$ elija representantes $x_i$ para estos cosets; cualquier $g\in G$ enviará cada $x_i$ a un único $x_j h$ con $h \in H$ y dejas que $g$ actuar sobre la $x_i$ enviándolo al $x_j$ índice y aplicando $\phi(h)$ a ella.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Para empezar observemos que si tenemos $n\in\mathbb N$ y un homomorfismo de anillos $\alpha:A\to B$ entonces surge naturalmente el homomorfismo $\alpha_n:M_n(A)\to M_n(B)$ tal que $(X_{i,j})_{i,j}\mapsto(\alpha(X_{i,k}))_{i,j}$ y da un homomorfismo de grupo $\alpha_n:GL_n(A)\to GL_n(B)$ (ya que los elementos invertibles pasan a invertibles bajo la acción del homomorfismo).

Ahora dejemos que $G$ sea un grupo finito, $H\leq G$ . Podemos considerar el álgebra de grupo $F[G]$ como un derecho $F[H]$ que denotamos $M$ . Tenemos una representación lineal natural $r:G\to GL_{F[H]}(M)$ de $G$ en $F[H]$ : $g\mapsto \varphi_g$ donde $\varphi_g(x)=gx$ .

Tras estas observaciones, volvemos a las representaciones inducidas. Sea $\rho:H\to GL_n(F)$ sea una representación lineal sobre un campo $F$ . Tenga en cuenta que si $t=(t_1,\ldots,t_m)$ - transversal izquierda de $H$ en $G$ entonces $t$ es una base de $M$ por lo que podemos pasar de $r$ a su versión $r_t:G\to GL_m(F[H])$ en la base $t$ . Podemos ampliar $\rho$ por linealidad a un homomorfismo $\tilde\rho:F[H]\to M_n(F)$ de $F$ -álgebras. Entonces $\tilde\rho_m r_t:G\to GL_{mn}(F)$ es una representación inducida.

Esta construcción da no sólo una representación inducida, sino también un mapa de transferencia $G\to H/N$ donde $H'\leq N\leq H$ . En efecto $\nu:H\to H/N$ sea un homomorfismo natural y $\tilde\nu:F[H]\to F[H/N]$ sea su extensión por linealidad a un homomorfismo de $F$ -álgebras. Entonces $F[H/N]$ es un anillo conmutativo, por lo que podemos considerar los determinantes de las matrices con entradas en $F[H/N]$ . A continuación, el mapa $g\mapsto \det(\tilde\nu_m r_t(g))$ es el mapa de transferencia. Dado que es una composición de dos homomorfismos, entonces el mapa de transferencia es un homomorfismo. Esta construcción también permite demostrar fácilmente la independencia del mapa de transferencia de la elección de transversal - es sólo una consecuencia del hecho de que las matrices conjugadas tienen los mismos determinantes.