La dimensión de un espacio vectorial visto como espacio vectorial real o complejo

Question

Tomemos un ejemplo particular del espacio de $m\times n$ matrices con enteros complejos $M_{m\times n}(\mathbb C)$ . Mi pregunta es si puedo definir este conjunto de matrices tanto en el espacio vectorial real como en el complejo.

Si la respuesta es afirmativa, entonces cuando $M_{m\times n}(\mathbb C)$ está en un espacio vectorial complejo, entonces tiene una dimensión en $mn$ . Mientras que si está en un espacio vectorial real, su dimensión será $2mn$ . ¿Estoy en lo cierto sobre esta dimensionalidad?

Como segundo ejemplo, un espacio de $m\times n$ matrices con enteros reales $M_{m\times n}(\mathbb R)$ . Este conjunto sólo puede ser un espacio vectorial real de dimensión $mn$ ¿no es así?

Answer 1

Tiene razón. Un $m\times n$ matriz sobre $\mathbb{R}$ vive en un espacio vectorial de dimensión $mn$ . Un $m\times n$ matriz sobre $\mathbb{C}$ se puede escribir $$ M = U + i V $$ donde $U$ y $V$ son reales $m\times n$ matrices, por lo que la dimensión real es $2mn$ . (Es decir, hay que especificar $2mn$ entradas reales para obtener $M$ en el segundo caso).

Answer 2

Para el primer ejemplo: sí, porque cada uno de los $m \times n$ Los coeficientes complejos de su matriz tendrán 2 coordenadas en la base $(1,i)$ de la $\mathbb{R}$ -espacio vectorial $\mathbb{C}$ .

La base está formada por las matrices $E_{1,1}, iE_{1,1}, ..., E_{m,n},iE_{m,n}$ donde las matrices $E_{i,j}$ son las matrices elementales.

Para el segundo ejemplo: sí, porque este espacio sólo puede ser visto como un $\mathbb{R}$ -espacio vectorial (no es un $\mathbb{C}$ -espacio vectorial).