Segunda derivada de $\arctan(x^2)$

Question

Dado que $y=\arctan(x^2)$ encontrar $\ \dfrac{d^2y}{dx^2}$ .

Tengo

$$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+x^4}.$$

Utilizando bajo d alto menos alto d bajo sobre bajo al cuadrado Tengo

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(1+x)^4 \cdot 2 - 2x \cdot 4(1+x)^3}{(1+x^4)^2}.$$

He intentado simplificar esto pero no he conseguido la respuesta que es

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2(1-3x^4)}{(1+x^4)^2}.$$

¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

Has hecho mal lo de bajo d alto menos alto d bajo: El numerador debería ser:

$$(1+x^4)2 - (2x)(4x^3)$$

Answer 2

Una vez que se llega al segundo paso, sí se puede utilizar la regla de la cadena. Quizás si escribes lo que pretender encontrar, en lugar de simplemente encontrarlo, será más fácil de ver:

$$\left(\frac{2x}{1+x^4} \right)' = \frac{(2x)'\left(1+x^4\right) + (2x)\left( 1+x^4\right)'}{\left(1 + x^4 \right)^2}$$

Answer 3

Alternativamente,

$ \large \tan (y) = x^2 \Rightarrow \sec^2 (y) \cdot \frac { \mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x $

$ \large \Rightarrow \frac { \mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac {2x}{\sec^2 (y)} = \frac {2x}{\tan^2 (y) + 1} = \frac {2x}{x^4 + 1} $

$ \large \Rightarrow \frac { \mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = \frac {2(x^4+ 1) - 2x(4x^3)}{(x^4+1)^2} = \frac {-6x^4 + 2}{(x^4 + 1)^2} $