¿por qué es unitaria la matriz exponencial de una matriz antiadjunta?

Question

Sea L una matriz, (.,.) un producto escalar unitario, t un número real. Aparentemente, si L es antiadjunta (es decir, (Lv,w) = -(v,Lw)) entonces exp(tL) es unitaria. ¿Podría alguien decirme por qué? ¿Es esto siempre cierto?

Answer 1

Anti self-adjoint para una matriz es lo mismo que Skew-Hermitian, lo que significa que $\overline{L^t}=-L$ y como $e^L e^{\overline{L^t}} = e^L e^{-L}=I$ se obtiene el resultado que se pedía. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Skew-hermitian que también tiene una interpretación en términos de grupos y álgebras de mentira (las matrices Skew-Hermitianas forman el álgebra de mentira de U(n))

Edit : Lo que escribí antes era confuso ya que $e^Ae^B = e^{A+B}$ sólo es cierto para las matrices si $A$ y $B$ de viaje.

Answer 2

Puede mostrar, por continuidad de $$\mathrm{End}(V)\rightarrow \mathrm{End}(V),~L\mapsto L^*$$ y la expansión en serie que define $\mathrm{exp}$ para los endomorfismos, que $\mathrm{exp}(L^*)=(\mathrm{exp}(L))^*$ . Cuando se aplica esto a $L$ anti self adjoint y $t\in \mathbb{R}$ , entonces se obtiene $$(\mathrm{exp}(tL))^*=\mathrm{exp}(tL^*)=\mathrm{exp}(-tL)=\mathrm{exp}(tL)^{-1}$$ lo que significa exactamente que $\mathrm{exp}(tL)$ es unitaria.

Answer 3

Si $L$ es antiadherente, entonces se puede diagonalizar unitariamente, por lo que esencialmente todo se reduce a lo que ocurre con las matrices diagonales (que en realidad es lo mismo que ocurre con los números complejos). Es fácil comprobar que todos los valores propios $\lambda_i$ de $L$ debe ser puramente imaginario. Los valores propios de $e^{tL}$ son de la forma $e^{t \lambda_i}$ ya que $\lambda_i$ es imaginario, $e_{t \lambda_i}$ tiene magnitud 1, es decir, se encuentra en el círculo unitario. Esto significa que $e^{tL}$ es unitaria.

Esto es más una mnemotecnia que una prueba, así que puedes completar los detalles. Como se basa en la diagonalización, es menos elemental que las otras sugerencias, pero creo que es más memorable, ya que sólo hay que recordar cómo funciona la aritmética compleja.