¿Qué es un diferencial?
Consideremos una función en una variable para empezar, digamos $f(x) = x^{2}$ . La derivada, normalmente escrita $f'(x)$ o $\mathrm{d}f/\mathrm{d}x$ es la función que describe el gradiente de la función $f$ . Para aclarar, decimos que el gradiente de $f$ en el punto $x$ es la pendiente de la línea tangente a $f$ en el punto $\big(x, f(x)\big)$ . Por ejemplo, la derivada de $f$ es $$ f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 2x. $$ Esto nos dice que en el punto $x = 3$ el gradiente de la recta tangente a $f$ en el punto $(3, 9)$ es $6$ y así sucesivamente. Fíjate que una constante aditiva no cambia el gradiente de las líneas tangentes, sólo cambia lo alto o bajo de la gráfica y por eso tiene sentido que no aparezca en la derivada.
Esto tiene sentido, ya que $\mathrm{d}f$ denota un pequeño incremento en $f$ y $\mathrm{d}x$ denota un pequeño incremento en $x$ para que $\mathrm{d}f/\mathrm{d}x$ puede entenderse como la relación entre la cantidad de $f$ aumenta/disminuye con un pequeño aumento de $x$ . Cuanto más alto sea el número, más pronunciado será el $f$ cambios con respecto a $x$ para que la propia gráfica sea empinada. En este caso, tenemos que $\mathrm{d}f/\mathrm{d}x = 2x$ para que $\mathrm{d}f = 2x \mathrm{d}x$ . Esta es sólo la función que nos dice cuánto la función $f$ cambios como $x$ cambios.
¿Por qué son importantes?
Esta interpretación resulta especialmente útil en los problemas de optimización: digamos que se tiene la función de precio (arbitraria) $P = 5 + 5x - x^{2}$ donde $P$ es el beneficio obtenido de alguna variable $x$ . La variable $x$ podría representar el número de unidades de producto producidas. Una ecuación similar a ésta es natural en este entorno --- al trazar el gráfico, vemos que si $x$ es demasiado pequeño, entonces el beneficio se reduce, y de forma similar si $x$ es demasiado grande, entonces el beneficio también se reduce. En otras palabras: si se produce demasiado poco producto, no hay suficiente oferta para satisfacer la demanda y el beneficio no se maximiza; del mismo modo, si se produce demasiado producto, no hay suficiente demanda para que sea rentable. Está claro que hay un valor de $x$ que corresponde a fabricar la cantidad justa de producto que satisfaga la demanda sin suministrar demasiado, y observando el gráfico es bastante fácil obtener una estimación aproximada de este valor.
Los diferenciales resultan útiles para determinar el valor de $x$ sin tener que graficar la función. En este ejemplo, el valor óptimo corresponde a la punta del pico de la gráfica. El gradiente de la recta tangente en este punto es claramente cero, por lo que encontramos el $x$ valor resolviendo $$ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x} = 0. $$ Vemos que $$ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x} = 5 - 2x = 0 $$ da el valor $x = 2.5$ . Esto significa que cuando $x = 2.5$ la función $P$ se maximiza.
Los diferenciales son no otra forma de expresar la función
Tener sólo la derivada de una función no suele ser tan útil como tener la propia función (ya que si se tiene una función, generalmente es fácil calcular su derivada), y por eso es importante la teoría de soluciones de ecuaciones diferenciales. En Física, hay muchas situaciones en las que sólo se conoce una ecuación diferencial, y el objetivo es encontrar la función que satisface la ecuación diferencial. En general, no se puede escribir una función en términos de su derivada --- considere $f(x) = x^{2}$ de nuevo, cuya derivada es $f'(x) = 2x$ y cuyo diferencial es $$ \mathrm{d}f = 2x \mathrm{d}x. $$ Esto demuestra que la función original y su derivada son diferentes, por lo que $f$ y $\mathrm{d}f$ son ecuaciones (generalmente) diferentes y que $\mathrm{d}f$ no es sólo "otra forma de escribir $f$ ".
Varias variables
Estas intuiciones se extienden naturalmente a las funciones de varias variables. Si $f(x, y) = x^{2} + xy + y^{2}$ entonces $$ \mathrm{d}f = (2x + y)\mathrm{d}x + (x + 2y)\mathrm{d}y. $$ Como $f$ es una función de dos variables, hay dos direcciones que se pueden incrementar y la función anterior describe cómo la superficie de $f$ cambia a medida que se incrementa $x$ y/o $y$ . Esto es útil porque a veces no es obvio cómo la forma de $f$ varía con respecto a cada coordenada cuando sólo se tiene la función original.
