Ecuación de un plano por 3 puntos dados

Question

He leído de soluciones, con digamos puntos $P(1,2,3)$ , $Q(3,1,2)$ , $R(2,3,1)$ donde se resta el punto $P-Q$ y $P-R$ para obtener dos vectores:

$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$

para obtener ahora el producto cruzado:

$\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$

por lo que la ecuación es $2x-y+2z=d$

insertando, por ejemplo, el punto P obtenemos

$2\times1-2+2\times3=d=6$

y por lo tanto

$2x-y+2z-6=0$

que puede transformarse en

$z=-x+\frac12y+3$

así que cuando pongo un punto cualquiera debería funcionar ¿no? Sin embargo, cuando pongo R, me sale:

$1=\frac52$

Entonces, ¿qué hice mal?

Answer 1

Eso es porque "producto cruzado" no significa multiplicar cada entrada por la correspondiente del otro vector. En este caso $$\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}.$$