¿Cuáles son los conjuntos abiertos en una topología especificada por un sistema fundamental de vecindades de $0$ de un grupo topológico? Además, ¿cómo es esta topología única? He buscado esto en Internet, pero los libros que he encontrado sólo mencionan estas afirmaciones, sin especificar cuáles son los conjuntos abiertos y por qué la topología es única. Cualquier ayuda será apreciada.
Respuestas
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Dick Kusleika
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Básicamente, porque para definir una topología necesitamos definir una base local en cada punto de forma consistente. En un grupo topológico $G$ para cada $x$ y $y$ tenemos un homeomorfismo de $G$ que mapea $x$ a $y$ , sólo tiene que utilizar $h(z) = y*x^{-1}*z$ . Así que podemos transportar una base de vecinos de $e$ (la identidad de $G$ ) a cualquier otro punto de $G$ utilizando tal $h$ . A continuación, se comprueba que se trata de una asignación coherente y se determina así la topología en $G$ .
JasonOng
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No estoy muy familiarizado con los grupos topológicos, pero esto es lo que sé de la topología general.
Usted tiene la base de la vecindad en cada punto $x \in G$ (obtenido como Henno Brandsma describió). Ahora los conjuntos abiertos se obtienen de forma única de esta manera:
set $U$ es abierto si y sólo si para cada punto $x \in U$ existe un elemento $V$ de la base del barrio en $x$ tal que $V \subset U$ .
La verificación de este hecho se deja como ejercicio al lector :) (y no conozco una buena cita en este momento).
P.D.: Véase también la discusión aquí: ¿Cómo se puede construir una topología a partir de un sistema fundamental de vecindades?
