¿Cómo calcular la altura de un prisma cuando se da el perímetro?

Question

El problema es el siguiente:

Para la clase de arquitectura, Joan y Peter deben hacer cada uno un prisma regular de volumen igual. Joan construyó un prisma triangular y Peter construyó un prisma cuadrangular cuya altura es de $12\sqrt{3}$ pulgadas. Si las bases de ambos prismas tienen el mismo perímetro. ¿Qué tan alta es el prisma que construyó Joan?

Aparentemente, el problema radica en la interpretación de la palabra "prisma regular" al mirar en esta fuente, un prisma regular es un prisma con bases que son polígonos regulares, con el último significado de esta otra fuente siendo un polígono para el cual todos los lados son congruentes y todos los ángulos son congruentes. En otras palabras, para este problema significaría que la base del $\textrm{Prisma A}$ es un triángulo equilátero y que el $\textrm{Prisma B}$ es un cuadrado.

A partir de la información anterior, hice un esquema de cómo pensé en resolver el problema.

Prisma $\textrm{A}: a=b=c$ y $\textrm{Prisma B: e=f}$. Por lo tanto, reduciendo las fórmulas de área y volumen a esto:

$$V_{1}=h_{1} \times \sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)}$$ $$V_{2}=12\sqrt{3}\times e\times e$$

entonces:

$$3a=4e$$

Por lo tanto ambos volúmenes son iguales,

$$h_{1} \times \sqrt{s(s-a)(s-a)(s-a)}=12\sqrt{3}\times e^{2}$$

$$h_{1} \times \sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a)^{3}}=12\sqrt{3}\times e^{2}$$

$$h_{1} \times \sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{a}{2})^{3}}=12\sqrt{3}\times e^{2}$$

$$h_{1} \times \sqrt{\frac{3a^{4}}{2^{4}}}=12\sqrt{3}\times e^{2}$$

$$h_{1} \times \frac{a^{2}}{4}\sqrt{3}=12\sqrt{3}\times e^{2}$$

Sustituyendo $\textrm{e}$ por $e=\frac{3a}{4}$

$$h_{1} \times \frac{a^{2}}{4}\sqrt{3}=12\sqrt{3}\times \frac{3^{2}a^{2}}{4^{2}}$$

$$h_{1} = \frac{12\times 3^{2}}{4}$$

$$h_{1} = 27$$

Por lo tanto, el resultado sería de $\textrm{27 pulgadas}$. Al seguir esta forma de escribir la fórmula de Herón:

$$A=\frac{1}{4}\times \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$$

Obtuve el mismo resultado.

En general, ¿el método que utilicé es correcto?

Answer 1

No tienes suficiente información para responder la pregunta. Las alturas deben estar en una razón inversa al área de las bases. El área del prisma B es $ef$ y el perímetro $2e+2f$. Se sabe que $a+b+c=2e+2f$ para que los perímetros sean iguales, pero el área de la base triangular puede ser cualquier valor entre $0$ y $\frac {\sqrt 3}{36}(2e+2f)^2$