Raíz cuadrada de números complejos

Question

Estoy estudiando análisis complejo.

Estaba leyendo una sección sobre raíces de números complejos, y descubrí que $\sqrt{i}$ tiene dos valores. ($i$ : unidad imaginaria) Sin embargo, para un número real no nulo, $\sqrt{a}$ siempre es un único valor. Además, $\sqrt{a}$ es un número real.

Sin embargo, $\sqrt{i}=\pm(\sqrt{0.5}+\sqrt{0.5}i)$. ¡¡Esto no es un número!! Creo que un número debería tener un único valor. Si $\sqrt{i}$ es el número con signo positivo, entonces no debería tener el signo negativo a menos que sea cero.

Entiendo que son los números que satisfacen $x^2=i$. Pero.. ¿qué representa $\sqrt{i}$?

¿Es diferente de la raíz cuadrada de los números reales?

Answer 1

Cada número complejo y real excepto $0$ tiene dos raíces cuadradas. Si $r$ es una de las raíces cuadradas, $-r$ es la otra.

Así que no es cierto que "$\sqrt i$ tenga dos valores". Es que "$i$ tiene dos valores como raíces cuadradas . Y no es cierto que los números reales positivos tengan una raíz cuadrada. Tienen dos.

_

Entonces, ¿qué significa el símbolo $\sqrt{}$ y qué significa "la raíz cuadrada"? Bueno, realmente nada. Es conveniente tener una sola valor para la "función raíz cuadrada", por lo que arbitrariamente elegimos que el valor positivo de las raíces cuadradas de los números reales positivos sería "la" raíz cuadrada. Y la raíz cuadrada negativa era la "otra".

Podríamos hacer lo mismo para las raíces cuadradas complejas. Podríamos decidir arbitrariamente que el que no tiene componente real negativa era "la" raíz cuadrada y que el que tiene un componente negativo sería la "otra". Pero, ¿cuál sería el punto?

La razón principal por la que hacemos esto para los reales es porque los números reales son realmente convenientes. Y nada de esa comodidad es útil en los números complejos. Los números complejos no tienen una ordenación mayor/menor. Vas a aprender que la exponenciación es cíclica y hay múltiples logaritmos de cada número (no te preocupes por eso; lo aprenderás más tarde).

Por lo tanto, básicamente decimos $\sqrt z$ para significar el conjunto de los dos números complejos, $w$ y $-w$, de modo que $w^2=(-w)^2=z$. O escribimos $\sqrt z =\pm w$ para significar que el número que se considerará una raíz cuadrada de $z$ podría ser cualquiera de $w$ o $-w$.

_

Answer 2

En los números reales, para $x$ positivo definimos $\sqrt x$ como el valor positivo. Por lo tanto, es una función porque produce un único resultado para cada entrada. Sin embargo, la ecuación $x^2=4$ tiene dos soluciones. No es correcto tomar la raíz cuadrada de cada lado y asumir tácitamente el signo positivo para obtener $x=2$ porque $x=-2$ también es una solución de la ecuación. En los números complejos no hay orden, por lo tanto no hay un conjunto de números positivos. La ecuación $z^2=y$ tiene dos soluciones para $z$ que son negativas entre sí. Este comportamiento se debe a que $(-1)^2=1$, por lo que puedes negar cualquier solución para obtener otra. Veo que la gente evita el signo de la raíz cuadrada al trabajar en variables complejas, creo que por esta razón. Utilizan la potencia $1/2$. Al igual que en los números reales, esto no selecciona una raíz cuadrada en particular. Al igual que en los números reales, cada número (ahora no solo números positivos) excepto el $0$ tiene dos raíces cuadradas.

Answer 3

Para cualquier número real o complejo $a=b^2$ también tenemos que $a=(-b)^2$ - y eso se aplica ya sea que $a$ sea real o complejo. Entonces si $a\neq 0$ la ecuación $x^2=a^2$ tendrá dos soluciones $x=\pm a$. Podemos ver esto al reescribir la ecuación como $$(x+a)(x-b)=0$$ que tiene dos raíces.

Obviamente una función tiene un único valor, y si queremos convertir la raíz cuadrada en una función debemos elegir un único valor "principal" de los dos posibles valores.

Cuando trabajamos en los números reales solo los enteros no negativos tienen una raíz cuadrada y la convención es elegir la raíz cuadrada positiva de un número real positivo. En los números complejos cada número puede tener una raíz cuadrada. Si $b=a^2e^{2i\theta}$ tenemos las dos soluciones $\pm ae^{i\theta}$ para la ecuación $x^2=b$.

Podríamos, por ejemplo, elegir $- \pi \lt 2\theta \le \pi$ o $0\le 2\theta \lt 2\pi$, y cualquiera de las dos opciones daría una función raíz cuadrada. En el primer caso la raíz cuadrada sería la elección con parte real $\ge 0$, resuelta hacia el eje imaginario positivo para los números reales negativos. En el segundo caso elegiríamos la solución con parte imaginaria no negativa, resuelta hacia la solución real positiva en el caso de números reales positivos. Otras elecciones también son posibles.

Si observamos detenidamente y pensamos geométricamente, veremos que esto implica dividir el plano a lo largo del eje real negativo en el primer caso o el eje real positivo en el segundo caso, y que números cercanos en el plano pueden tener raíces cuadradas muy diferentes. Eso no siempre es conveniente, por lo que a veces es útil elegir una definición sobre otra para que la función sea continua en una región particular de interés.

Otra forma de resolver el problema es considerar que los dos valores de la raíz cuadrada pertenecen a dos hojas de una única Superficie de Riemann (con un valor único en el origen), lo que puede preservar la continuidad.

Los dos valores señalan la necesidad de tener cuidado, pero los matemáticos han desarrollado herramientas para hacerlo. Como con todas estas herramientas, es necesario aprender a usarlas y cómo reconocer la necesidad. Por ejemplo, en los números reales la raíz cúbica (real) es una función. Pero cuando pasamos a los números complejos, hay tres posibles valores para la raíz cúbica, y es necesaria un cambio de perspectiva.

Por interés estos tres valores provienen de las tres soluciones de la ecuación $x^3=1$. Obviamente $x=1$ es una de estas, y al escribir $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$ vemos que las otras posibles raíces cúbicas de $1$ son las soluciones de $x^2+x+1=0$.