Media de la distribución exponencial inversa

Question

Dada una variable aleatoria $Y = Exp(\lambda)$ ¿Cuál es la media y la varianza de $G=\dfrac{1}{Y}$ ?

Miro la Distribución Gamma Inversa, pero la media y la varianza sólo están definidas para $\alpha>1$ y $\alpha>2$ respectivamente...

Answer 1

Dado que la distribución exponencial inversa tiene $\alpha = 1$ has tropezado con el hecho de que la media de la exponencial inversa es $\infty$ . Y por lo tanto, la varianza de la exponencial inversa es indefinida.

Si $G$ tiene una distribución exponencial inversa, $E(G^r)$ existe y es finito para $r < 1$ y $= \infty$ para $r = 1$ .

Answer 2

Mostraré el cálculo para la media de una distribución Exponencial para que te recuerde el enfoque. Luego, iré por la Exponencial inversa con el mismo enfoque.

Dado $f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$ = \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$ = \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Integrar por partes (ignorar el $\lambda$ frente a la integral por el momento),

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$ = y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$ = y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$ = y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Multiplique por el $\lambda$ frente a la integral,

$ = - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Evaluar para $0$ y $\infty$ ,

$ = (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$ = \lambda^{-1}$

Que es un resultado conocido.

Para $G = \frac{1}{Y}$ La misma lógica se aplica.

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$ = \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$ = \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

La principal diferencia es que para una integración por partes

$u = y^{-1}$

y

$du = -1y^{-2}$

por lo que no nos ayuda para $G = \frac{1}{y}$ . Creo que la integral es indefinida aquí. Wolfram alpha me dice que no converge.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+de+0+al+infinito+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Por lo tanto, la media no existe para la inversa de la Exponencial, o, equivalentemente, para la inversa de la Gamma con $\alpha=1$ . La razón es similar para la varianza y $\alpha \gt 2$ .

Answer 3

Tras una rápida simulación (en R), parece que la media no existe :

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Para comparar, esto es lo que ocurre con una auténtica variable aleatoria exponencial.