intuición contable-incontable detrás de un conjunto

Question

Dejar $Q$ := $\{q_1, ...,q_n,...\}$ sea una enumeración de los racionales.

dejar $\epsilon_n$ = $\frac{1}{2^n}$ y que $S_i$ = $(q_i-\epsilon_i, q_i + \epsilon_i)$

Dejemos que $S$ sea la unión de todos los $S_i$ . Tome el complemento de $S$ en $\mathbb{R}$ .

Tengo algunas preguntas sobre este conjunto. Estoy seguro de que son todas algo triviales, pero he pensado un poco en ellas y todavía no me he dado cuenta.

En primer lugar, considerando una serie geométrica $S$ tiene una longitud máxima de 2. Así que el complemento es infinito. Pero el complemento no tiene intervalos, son sólo puntos irracionales. Y no se me ocurre un ejemplo de uno de estos puntos. Si tenemos un irracional en el complemento está "entre" dos conjuntos, con puntos finales racionales. estos puntos finales racionales deberían tener entonces otro conjunto abierto alrededor de ellos, que aunque sea infinitesimal, debería cubrir "un" punto, nuestro elemento irracional del complemento. Así que ahora nuestro único ejemplo del complemento ya no está en el complemento.

En segundo lugar, una vez armado con la intuición sobre el aspecto y la sensación de este conjunto, me pregunto sobre el hecho de que tenga una longitud infinita. Si el conjunto de elementos irracionales del conjunto está encajado entre un número contable de conjuntos abiertos, parece que debería haber un número contable de puntos en el complemento si $S$ . Pero entonces la longitud sería cero.

Para formular la segunda parte de la pregunta de forma más adecuada, tal vez podría redefinir $\epsilon_n$ como $\frac{\pi}{2^n}$ y tratar de argumentar desde el $S_i$ ahora tienen puntos finales irracionales, los únicos irracionales en el complemento pueden ser los puntos finales, y esto demuestra que son contables...

¿en qué me estoy equivocando?

Answer 1

He aquí un ejemplo diferente que puede ayudar a "imaginar" las cosas. Consideremos en cambio el conjunto de bolas abiertas $S_i = (q_i - |q_i - \pi|, q_i + |q_i - \pi|)$ . Se trata de un recubrimiento abierto de los racionales cuyo complemento es $\{ \pi \}$ .

Esta era la forma más fácil de verlo, pero aún podríamos construir una cubierta usando su receta que no contenga $\pi$ , ya sea eligiendo cuidadosamente la enumeración, o mediante una pequeña variación: eligiendo $\epsilon_i = \min\{ |q_i - \pi|, 2^{-i} \}$ .

Answer 2

En primer lugar, ten en cuenta que no especificas los intervalos. Afirmas su existencia, pero no das una definición exacta. Lo mismo ocurre con la enumeración de los racionales.

Si $q_0=0$ los irracionales que no aparecen en este conjunto son diferentes de aquellos en los que $q_0=500^{100000^{100}}$ . Así que especificar un número irracional que no está en $S$ es igualmente imposible.

Por último, el complemento de un conjunto de medida $2$ no necesita contener intervalos. Argumentar en contra de esto se reduce fácilmente a un argumento contra la siguiente verdad matemática:

Dejemos que $\Bbb I$ denotan los números irracionales, entonces $\Bbb I$ es la intersección de un número contable de conjuntos abiertos, pero no contiene ningún intervalo adecuado.

Esto se debe a que los números irracionales forman un espacio totalmente desconectado, los conjuntos conectados son singletons (¡no confundir esto con que el espacio sea discreto! Los singletons no son abiertos!) y por lo tanto está perfectamente bien.

Ahora, viendo que has cubierto todos los números racionales, el complemento debe estar dentro de los números irracionales, y como éstos están totalmente desconectados no puede ser otra cosa en sí.

A tu último argumento, no es cierto que todo irracional sea el punto final de algún intervalo, de hecho hay muchos de ellos que no son los puntos finales de ningún intervalo. Sin embargo, son puntos de acumulación de los puntos finales de los intervalos. Y un conjunto contable puede tener fácilmente un conjunto incontable de puntos límite (por ejemplo, los números racionales son densos en $\Bbb R$ ).

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