Encuentre un espacio métrico en el que la frontera de $M(r,p)$ no es igual a la esfera de radio $r$ en $p$

Question

Encontrar un espacio métrico $M$ en la que el límite de $M(r,p)$ no es igual a la esfera de radio $r$ en $p$ , $M(r,p)=\{x \in M: d(x,p)=r\}$ No puedo entender cómo el espacio discreto puede ser la respuesta...

Answer 1

$M(r,p)$ es exactamente la esfera de radio $r$ en $p$ . Se le pide que encuentre un espacio tal que el límite de la esfera no sea igual a la propia esfera.

En la métrica discreta todo conjunto $A$ está abierto y cerrado simultáneamente. Por lo tanto, el $\partial A = \bar A \setminus \stackrel{\circ}{A} = A \setminus A = \emptyset$ . Esto significa que en la métrica discreta la frontera de $M(r,p)$ está vacía, mientras que la esfera en sí no tiene por qué estar vacía.