He estado repasando para mi examen global de graduación donde he estado resolviendo la transformada inversa de Laplace mediante el análisis complejo. Considere $$ H(s) = \frac{s^2 - s + 1}{(s + 1)^2} $$ Entonces tenemos dos polos en $s = -1$ . $$ \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s^2 - s + 1}{(s + 1)^2}e^{st}ds = \sum\text{Res}(F(s)e^{st}) $$ Me sale $$ \lim_{s\to -1}[2s - 1 + t(s^2 - s + 1)]e^{st} = -3e^{-t} + 3te^{-t} $$ pero si resuelvo el problema por fracciones parciales y tablas, también recojo la delta de Dirac; es decir, la solución debería ser $$ \delta(t) -3e^{-t} + 3te^{-t} $$ ¿Cómo he perdido una función delta de Dirac?
Respuesta
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Esto no es tanto una prueba como una demostración. Tomaremos la integral de Bromwich y le pondremos una constante 1. Tenemos la transformada inversa de Laplace como
$$ F(t) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma-i \infty}^{\gamma+i \infty} e^{st} f(s) ds $$
donde $\gamma$ es un número real que debe elegirse de forma que todos los polos de $f(s)$ se encuentran a la izquierda del contorno vertical que define.
Establecer $f(s)=1$ y podemos tomar $\gamma=0$ por comodidad ya que nuestra función no tiene polos. Voy a introducir un límite en los límites de integración, $p$ . Entonces tendrás
$$ F(t) = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{p \rightarrow \infty} \int_{-i p}^{+i p} e^{st} ds \\ = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{p \rightarrow \infty} \left. \frac{e^{st}}{t} \right|_{-ip}^{ip} \\ = \frac{1}{2 \pi i} \lim_{p \rightarrow \infty} \left( \frac{e^{ipt}-e^{-ipt}}{t} \right) \\ = \frac{1}{2 \pi i t} \lim_{p \rightarrow \infty} 2 i \sin(pt) \\ = \lim_{p \rightarrow \infty} \frac{\sin pt}{\pi t} $$
Ahora bien, una de las "definiciones" de la función Dirac-delta como "límite" es $$ \lim_{e \rightarrow 0} \frac{1}{\pi x} \sin \left( \frac{x}{e} \right) $$
Que es precisamente nuestro resultado, si se pone $e=1/p$ . Así que si asumes que la integral tiene sentido, la transformada inversa de Laplace de 1 debería ser la "función" delta de Dirac.
