Dejemos que $(X,\omega)$ sea una variedad compacta de Kähler. Conocemos un ejemplo de una forma paralela cerrada (1,1), a saber, $\omega$ en sí mismo. ¿Existen obstáculos para la existencia de formas paralelas (1,1) cerradas no evanescentes? ¿Y qué pasa con $(p,p)$ -¿Formas?
Respuesta
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Charles
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Tomemos un toro complejo compacto con una estructura de Kähler, por ejemplo, una variedad abeliana. Entonces hay muchos paralelos cerrados no evanescentes $(1,1)$ -formas, y sus productos generarán $(p,p)$ -formas.
Si $(X,\omega)$ es un espacio simétrico hermitiano, habrá muchos paralelos $(p,p)$ -formas (y se cerrarán todas). El número exacto depende del espacio simétrico.
Si $(X,\omega)$ es un producto de dos variedades de Kähler, habrá más $(p,p)$ formas que sólo los poderes de $\omega$ . Por ejemplo, si $X = X_1\times X_2$ y $\omega = \pi_1^*\omega_1 + \pi_2^*\omega_2$ , donde $(X_i,\omega_i)$ son variedades compactas de Kähler, y $\pi_i:X\to X_i$ es la proyección, entonces $\pi_i^*\omega_i$ para $i=1,2$ son paralelos $(1,1)$ -y la sub-álgebra que generan consiste enteramente en paralelas $(p,p)$ -formas.
Por el contrario, si $(X,\omega)$ no es localmente un producto o localmente simétrico, entonces el único paralelo $(p,p)$ -son los múltiplos constantes de $\omega^p$ .
Esto se deduce de la clasificación de los grupos de holonomía de las variedades irreducibles, ya que, si $(X,\omega)$ es un complejo irreducible de Kähler $n$ -y no es localmente simétrico, entonces, por el Teorema de Berger, su grupo de holonomía es isomorfo a uno de $\mathrm{U}(n)$ , $\mathrm{SU}(n)$ o $\mathrm{Sp}(\tfrac12n)$ . En todos estos casos, cualquier paralelo $(p,p)$ -es un múltiplo constante de $\omega^p$ .
