He leído aquí que un valor propio simple es regular y quiero saber qué es un valor propio regular. Hice una búsqueda en google pero no pude encontrar ese término exacto por lo que estoy preguntando aquí.
Dejemos que $\lambda$ sea un valor propio de un $n \times n$ matriz $A$ . Nosotros decimos $\lambda$ es un regular valor propio o semi-simple valor propio si sus multiplicidades geométricas y algebraicas son iguales, es decir, si $ \dim \ker(A - \lambda I) $ es igual al mayor número entero $m(\lambda)$ tal que $ (t - \lambda)^{m(\lambda)} $ divide el polinomio característico $p_A(t)$ de $A$ .
Para un valor propio general $\lambda$ tenemos $ \dim \ker(A - \lambda I) \leq m(\lambda) $ y $\lambda$ es regular si y sólo si podemos encontrar una base para $ \ker(A - \lambda I) $ del máximo tamaño posible, es decir, la multiplicidad algebraica $m(\lambda)$ . Dado que la suma de $m(\lambda)$ sobre todos los valores propios $\lambda$ es exactamente $n$ la matriz $A$ es diagonalizable si y sólo si cada valor propio de $A$ es regular.
Un simple valor propio $\lambda$ es automáticamente regular porque $ 1 \leq \dim \ker(A - \lambda I) \leq m(\lambda) = 1 $ .
Gracias usuario141240. ¿Puedes explicar esa parte "Para un valor propio general $\lambda$ tenemos $\dim \ker(A - \lambda I) \leq m(\lambda)$ "? ¿Y es correcto lo que he escrito en mi 2º comentario a la pregunta?
Como usted ha dicho, $v_A(\lambda)$ ES la multiplicidad geométrica. Por supuesto, puede ser 1, en cuyo caso el espacio eigénico es unidimensional y $\lambda$ es simple si y sólo si es regular.
Para la desigualdad, sea $k=\dim\ker(A-\lambda I)$ y $\beta_0 = \{v_1, \dots, v_k\}$ sea una base para el espacio eigénico $\ker(A-\lambda I)$ . Ampliar $\beta_0$ a una base $\beta = \{v_1, \dots, v_n\}$ para todo el espacio. ¿Qué puede decir de la representación de $A$ con respecto a $\beta$ ¿Después de un cambio de base? Además, el polinomio característico de $A$ es divisible por $(t-\lambda)^k$ . ¿Por qué?
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Los dos últimos dígitos de la URL del documento resuelto (que he editado la pregunta para utilizarlos) parecen ser números de página; la que citas es la página 94. Volviendo a página 93 encontramos "Un valor propio $\lambda_i$ de $A$ se llama regular si $\nu_A(\lambda)=m_A(\lambda)$ ". (Sospecho que el " $\lambda$ " debería ser " $\lambda_i$ ".) Por lo tanto, la pregunta es: ¿Cómo define este autor $\nu_A$ y $m_A$ ? En la página 94 se menciona la "multiplicidad algebraica $m_A(\lambda)$ "; podría $\nu_A$ sea geométrico ¿multiplicidad? ... Sólo otras 92 páginas para comprobar! :)
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Gracias Blue por poner un enlace mejor. Creo que $v_A$ no es multiplicidad geométrica. (La búsqueda en Google dice: "La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio"; que no puede ser uno para $\mathbb{R}^n$ a menos que $n=1$ ). Por cierto ¿puedes poner un enlace en los comentarios para descargar todas las páginas a la vez o tengo que descargarlas una a una?
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(Respondiendo a mi yo del pasado) $v_A$ ES la multiplicidad geométrica y puede ser 1 en $\mathbb{R}^n$ si sólo hay un vector propio asociado al valor propio de ese espacio propio.
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Si cortas el final de la URL llegarás a un directorio de archivos . Muchos archivos .tex/.log/.aux para ignorar, pero los .pdfs son clicables. En fin... Volviendo a página 90 hace referencia a $\nu_A^p(\lambda)$ como la dimensión del " $p$ -ésimo eigespacio generalizado"; con $p=1$ que indica el eigespacio "habitual". Para estar seguros, podemos volver a página 88 encontrar $\nu_A(\lambda_i)$ definida explícitamente como la multiplicidad geométrica.