¿Qué es un valor propio regular?

Question

He leído aquí que un valor propio simple es regular y quiero saber qué es un valor propio regular. Hice una búsqueda en google pero no pude encontrar ese término exacto por lo que estoy preguntando aquí.

Answer 1

Dejemos que $\lambda$ sea un valor propio de un $n \times n$ matriz $A$ . Nosotros decimos $\lambda$ es un regular valor propio o semi-simple valor propio si sus multiplicidades geométricas y algebraicas son iguales, es decir, si $\dim \ker(A - \lambda I)$ es igual al mayor número entero $m(\lambda)$ tal que $(t - \lambda)^{m(\lambda)}$ divide el polinomio característico $p_A(t)$ de $A$ .

Para un valor propio general $\lambda$ tenemos $\dim \ker(A - \lambda I) \leq m(\lambda)$ y $\lambda$ es regular si y sólo si podemos encontrar una base para $\ker(A - \lambda I)$ del máximo tamaño posible, es decir, la multiplicidad algebraica $m(\lambda)$ . Dado que la suma de $m(\lambda)$ sobre todos los valores propios $\lambda$ es exactamente $n$ la matriz $A$ es diagonalizable si y sólo si cada valor propio de $A$ es regular.

Un simple valor propio $\lambda$ es automáticamente regular porque $1 \leq \dim \ker(A - \lambda I) \leq m(\lambda) = 1$ .