Convergencia de la media muestral de los v.r. en probabilidad

Question

Dejemos que $X_1,X_2\dots$ una secuencia de variables aleatorias que convergen en probabilidad a cero, es decir $X_n\overset{p.}\rightarrow0$ . Estoy tratando de encontrar un contraejemplo para demostrar que $\frac{\sum\limits_{i=1}^nX_i}{n}$ no converge necesariamente en probabilidad a cero.

Por lo tanto, se puede demostrar que si para cada punto de muestra $\omega\in\Omega$ Elijo $$ X_n(\omega)= \left\{ \begin{array}{ll} n,\qquad U(\omega)\leq1/n&\\ 0,\qquad \text{otherwise}& \end{array} \right. $$ para $U$ un r.v. uniforme en $[0,1]$ entonces $X_n\overset{a.s.}\rightarrow0$ y $X_n\overset{p.}\rightarrow0$ . También estoy pensando que en este caso $$\frac{\sum\limits_{i=1}^nX_i}{n}=\frac{n^2}{n}=n$$ que claramente diverge, pero tengo dudas al respecto. ¿Alguna idea u otros ejemplos?

Answer 1

Dejemos que $(X_n)$ sean variables aleatorias independientes tales que $P(X_n=1)=\frac{1}{n}$ y $P(X_n=0)=1-\frac{1}{n}$ . Denote $Y_n = 2^n X_n$ . Es fácil ver $Y_n \to 0$ en la probabilidad. Tomando $\epsilon =1$ y $k_n =\min\{ i : 2^i \geqslant n\}$ tenemos \begin{align*} P\Big(\sum_{i=1}^n Y_i \geqslant n\Big) &\geqslant P\Big(\sum_{i=k_n}^n Y_i \geqslant n\Big) = P\Big(\sum_{i=k_n}^n 2^i X_i \geqslant n\Big) = P\Big(\bigcup_{i=k_n}^n (X_i = 1)\Big)\\ & =1 - P\Big(\bigcap_{i=k_n}^n (X_i = 0)\Big) = 1- \prod_{i=k_n}^n P(X_i=0)=1-\prod_{i=k_n}^n \Big(1-\frac{1}{i}\Big)\\ & \geqslant 1- \exp\Big(-\sum_{i=k_n}^n \frac{1}{i}\Big). \end{align*} Desde $k_n \sim \log n$ entonces $\sum_{i=k_n}^n \frac{1}{i} \sim \log\Big(\frac{n}{\log n}\Big)\to \infty$ como $n\to \infty$ . Esto implica que el último término de la estimación anterior tiende a $1$ . Por lo tanto, $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i$ no converge a $0$ en la probabilidad.