Actualmente estoy aprendiendo algo de teoría de categorías, y estaba pensando en el siguiente problema: Supongamos $F: C \to D$ es un functor que induce una equivalencia de categorías y que $C,D$ se enriquecen sobre alguna categoría $M$ . Entonces $F$ preservar la estructura enriquecida, es decir, es $Hom(c,c') \simeq Hom(F(c),F(c'))$ donde el isomorfismo es en la categoría $M$ . Sólo sabemos que este isomorfismo es un isomorfismo de conjuntos, y mi intuición me dice que no deberíamos obtener un isomorfismo natural en $M$ . Sin embargo, intenté encontrar algunos contraejemplos con categorías enriquecidas sobre cosas conocidas como espacios topológicos, y grupos abelianos, pero no pude encontrar un contraejemplo. ¿Alguna idea?
Respuestas
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No, ciertamente no. Por ejemplo, dejemos que $R$ y $S$ ser anillos y $f:R\to S$ sea una biyección que preserve la multiplicación pero no la suma (para un ejemplo explícito de tal biyección, considere $R=S=\mathbb{Z}$ y $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ que intercambia los factores de $2$ y $3$ en la factorización prima de cada número entero). Podemos considerar $R$ como una categoría de un objeto enriquecida en grupos abelianos, siendo los morfismos elementos de $R$ La adición de morfismos es la adición en $R$ y la composición de morfismos es la multiplicación en $R$ . También podemos considerar $S$ como una categoría de un objeto enriquecida en grupos abelianos. Entonces $f$ puede considerarse como un isomorfismo entre estas dos categorías (ya que preserva la multiplicación), pero no preserva el enriquecimiento (ya que no preserva la adición).
Un caso importante en el que las equivalencias de categorías sí preservan automáticamente el enriquecimiento son las categorías aditivas. Cualquier functor entre categorías aditivas que preserve productos o coproductos finitos (en particular, cualquier equivalencia) preserva automáticamente el enriquecimiento en grupos abelianos. Esto se debe a que la suma de morfismos en una categoría aditiva puede construirse mediante sumas directas: la suma de $f,g:A\to B$ es la composición de $(f,g):A\to B\oplus B$ con el mapa de pliegues $B\oplus B\to B$ .
jgon
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Eric Wofsey ya ha dado una gran respuesta (+1) dando un ejemplo de dos categorías equivalentes enriquecidas sobre grupos abelianos donde los grupos abelianos no se preservan y también añadió un buen punto sobre la preservación del enriquecimiento en categorías aditivas.
Sin embargo, me gustaría añadir un punto adicional.
Las categorías enriquecidas no son (necesariamente) categorías ordinarias. De hecho, me gustaría decir que no son categorías ordinarias. Si la categoría enriquecida, $V$ es concreto, como es el caso de $\mathbf{Top}$ o $\mathbf{Ab}$ Si se trata de categorías enriquecidas, se puede considerar que la categoría enriquecida tiene también una estructura de categoría ordinaria natural. Sin embargo, identificar la categoría ordinaria con la categoría enriquecida sería un ligero abuso de la notación, ya que los objetos hom de la categoría enriquecida son objetos de $V$ y los objetos hom de la categoría ordinaria asociada son objetos de $\mathbf{Set}$ . En general, eso está bien, ya que solemos hablar de grupos abelianos y espacios topológicos como conjuntos.
Sin embargo, esta distinción entre $V$ -y sus categorías ordinarias asociadas (cuando $V$ es concreta) es muy relevante aquí, porque hay que tener cuidado con lo que entendemos por una equivalencia de categorías.
Si $C$ y $D$ son $V$ -entonces una equivalencia de esas categorías debe ser un par de $V$ -funcionarios $F:C\to D$ y $G:D\to C$ con $F\circ G \simeq 1_D$ y $G\circ F \simeq 1_C$ (los isomorfismos naturales aquí también deberían ser $V$ -isomorfismos naturales). Con esta noción de equivalencia, una equivalencia entre $C$ y $D$ preservaría naturalmente el enriquecimiento, y ésta es la noción correcta de una equivalencia entre $C$ y $D$ .
Como ha demostrado Eric Wofsey con su ejemplo, no sólo no hay razón para pensar que una equivalencia entre las categorías ordinarias asociadas induzca una equivalencia entre el $V$ -categorías enriquecidas, no es cierto. El punto principal de mi respuesta es que ni siquiera hay necesariamente categorías ordinarias asociadas a las categorías enriquecidas, ya que sus objetos hom ni siquiera se encuentran necesariamente en una categoría concreta (Sí, lo sé siempre podemos tomar los elementos generalizados de la unidad para obtener una categoría ordinaria de una categoría enriquecida, pero eso no viene al caso).
