Solución única de $ 4f'(t)+\sin f(t) + \int_{\frac{t}{2}}^{t} (1 + y^2(s)) \sin(s)ds=0 $

Question

Dejemos que $C([0,1],[-1,1])=\{f:[0,1] \to [-1,1] | f $ continuo $ \}$ la bola unitaria del espacio $C([0,1])$ . Demuestre que sólo existe un $f \in C([0,1],[-1,1])$ tal que:

$ \displaystyle 4f'(t)+\sin (f(t)) + \int_{\frac{t}{2}}^{t} (1 + f^2(s)) \sin(s)ds = 0 \;\;\forall t \in [0,1], f(0)=0.$

Ya he demostrado $C([0,1])$ completa, y conozco el Teorema del Punto Fijo de Banach. Probablemente pueda usarlo aquí, pero no encuentro una contracción útil.

Gracias.

Answer 1

Pista: Mira el operador

$$T(f)(x) = -\frac{1}{4} \int_{0}^{x}\left( \sin(f(t)) + \int_{t/2}^{t} (1+f^2 (s))\sin(s) \mathrm{d}s \right)\mathrm{d}t.$$ Tenga en cuenta que si $f \in C([0,1],[-1,1])$ con $f(0) = 0$ es un punto fijo de este operador, $f$ resuelve su ecuación.