Halla la ecuación de las rectas que pasan por el origen, cada una de las cuales forma un ángulo de $\alpha$ con $y=x$ .

Question

Halla la ecuación de las rectas que pasan por el origen, cada una de las cuales forma un ángulo de $\alpha$ con $y=x$ .

A continuación, mi intento

Que las líneas sean $l_1,l_2$ . Desde $l_1$ hace un ángulo $\alpha$ con $y=x$ por lo que hace un ángulo de $(\frac{\pi}{4}+\alpha)$ con $x$ -eje

Y la línea $l_2$ hace un ángulo $(\frac{\pi}{4}-\alpha)$ con $x-axis$ .

Así, las ecuaciones de dos líneas son $y_1=\tan (\frac{\pi}{4}+\alpha)x,y_2=(\frac{\pi}{4}-\alpha)x$ ,

Pero cómo encontrar la ecuación común que representa las dos líneas ?

Answer 1

La ecuación común que representa a las dos líneas sería :

$$(y-x\tan(\tfrac{\pi}{4}+\alpha))(y-x\tan(\tfrac{\pi}{4}-\alpha)) = 0$$

Se puede ampliar para obtener una ecuación de un par de rectas.

Answer 2

El ángulo formado por la línea recta es

$$ \pi/4 \pm \alpha $$

Así que tenemos la tangente del ángulo anterior

$$= \frac { 1+\tan \alpha }{ 1-\tan \alpha },\, \frac { 1 -\tan \alpha }{ 1+\tan \alpha } $$ y las rectas necesarias son

$$\frac{y}{x}= \frac { 1+\tan \alpha }{ 1-\tan \alpha },\, \frac{y}{x}= \frac { 1 -\tan \alpha }{ 1+\tan \alpha } $$ La ecuación común es

$${\left({\dfrac{y}{x}} \right) }^{\pm 1}= \frac { 1+\tan \alpha }{ 1-\tan \alpha } $$

En coordenadas polares simplemente

$$ \theta = \pi/4 \pm \alpha $$

para todos $r$ .

Answer 3

Para divertirse:

En coordenadas polares:

Dejemos que $\alpha \not=π/4.$

0) Línea original: $\theta_0 = π/4.$

1) Línea 1: $\theta_1 = π/4 +\alpha.$

2) Línea 2: $\theta_2 = π/4 - \alpha.$

Eso es todo.

Volver a las coordenadas cartesianas:

$x= r\cos(\theta _i);$ $y=r\sin(\theta_i)$ ,

$i=0,1,2,$ o eliminando $r:$

$y=\tan(\theta_i) x $ , $i=0,1,2.$

Ecuación común:

$(y-\tan(\theta_1) x)(y-\tan(\theta_2) x)=0$ .

Answer 4

Se puede encontrar una ecuación común escribiendo las dos ecuaciones en la forma $mx-y=0$ y multiplicándolos entre sí. Cualquier punto que satisfaga o bien de las dos ecuaciones también satisfacen su producto.

Para unirme a la diversión, he aquí otra forma de atacar este problema. Las ecuaciones de las líneas que hacen un ángulo de $\alpha$ con el $x$ -eje son $y\pm x\tan\alpha=0$ por lo que su ecuación común es $(y+x\tan\alpha)(y-x\tan\alpha)=0$ o $y^2=x^2\tan^2\alpha$ . Ahora gire esto en un ángulo de $\pi/4$ haciendo las sustituciones† $x\mapsto(y+x)$ , $y\mapsto(y-x)$ : $$(y-x)^2 = (y+x)^2\tan^2\alpha \\ y^2-2xy+x^2 = (y^2+2xy+x^2)\tan^2\alpha \\ (x^2+y^2)(1-\tan^2\alpha) = 2xy(1+\tan^2\alpha).$$ Esto se puede simplificar aún más, si se desea, utilizando una de las fórmulas del coseno de doble ángulo: $$(x^2+y^2)(1-\tan^2\alpha) = 2xy(1+\tan^2\alpha) \\ (x^2+y^2){1-\tan^2\alpha \over 1+\tan^2\alpha} = 2xy \\ (x^2+y^2)\cos{2\alpha} = 2xy.$$

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† En sentido estricto, debería haber un factor de $\frac1{\sqrt2}$ en esta transformación, pero este denominador común puede ser eliminado al final y omitirlo reduce el desorden en los cálculos. Geométricamente, una escala uniforme mapea las líneas que pasan por el origen sobre sí mismas, por lo que multiplicarlas por una constante distinta de cero no cambia nada.